W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 10

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: sobota, 24, październik 2015 09:52

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 2.26, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Wyprowadzić wzór na przyspieszenia ciał i napięcia wszystkich nici w układzie pokazanym na rysunku 2.7. Opory i masy bloków są do pominięcia.

Rozwiązanie

Jest to kolejny typ zadań, z którymi jako uczeń miałem problemy. Wynikało to z faktu, że nie wyjaśniono mi ról i właściwości jakie spełniają nici, za pomocą których ciała w tego typu układzie oddziaływują ze sobą.

Mimo, że zadanie to umieszczono w dziale "Druga zasada dynamiki", to nie da się go rozwiązać bez trzeciej zasady dynamiki. A zatem mamy do czynienia z sytuacją jak na rysunku nr 1.

Więc na samym początku wyjaśnijmy ogólnie role sznurków. Są one następujące:

1. - sznurki działają tylko na sąsiadujące ciała i nie mają wpływu na inne,
2. - sznurki są nierozciągliwe, nic nie ważą i dlatego połączone ciała poruszają się z tym samym przyspieszeniem a,
3. - z uwagi na III zasadę dynamiki poprzez sznurek na sąsiadujące ciała działają siły o identycznych wartościach i przeciwnych zwrotach.

Aby rysunek był bardziej czytelny pominąłem siłę ciężkości działającą na drugi klocek oraz siły reakcji podstawy działające na wszystkie klocki, gdyż w tym zadaniu nie mają one wpływu na rozważaną sytuację fizyczną.

W zadaniu nie ma znaczenia, czy wypadkowy ruch jest w lewo, czy w prawo. Ale jakiś trzeba wybrać, aby prawidłowo wypisać równania ruchu. Załóżmy, że jest w lewo. Wtedy

1. - ciała o masie m₁ i m₃ poruszają się po równiach pochyłych (nieruchomych), a więc na ruch tych ciał mają wpływ tylko składowe styczne odpowiednich sił ciężkości,
2. - wrysowane na rysunku siły F₂ i F₄ jako, że działają między innymi parami ciał (o innych proporcjach masy, jak i jej bewzględnej wartości) mają na ogół inne wartości, stąd są oznaczone innymi symbolami.

Możemy już w tej chwili wypisać układ równań wyrażający II zasadę dynamiki dla każdego z ciał.

Dla ciała pierwszego na jego ruch wpływają siły następująco (z uwagi na założony ruch w lewo) :

1. - siła F¹_s powoduje jego ruch w dół,
2. - siła F₂ hamuje ten ruch.

Dlatego jego wypadkowe przyspieszenie wynika z poniższego równania

m₁a = F¹_s - F₂ ,

m₁a = m₁gsinα - F₂ . (1)

Dla drugiego ciała mamy podobnie

m₂a = F₂ - F₄ . (2)

Oraz dla trzeciego

m₃a = F₄ - F³_s ,

m₃a = F₄ - m₃gsinβ . (3)

Teraz już pozostały przekształcenia. Aby obliczyć a ( lepiej na początek to policzyć, bo jest to wielkość identyczna dla wszystkich ciał ) trzeba wyeliminować z równań F₂ i F₄ . Z uwagi na budowę równań użyjmy równań (1) i (3) jako równań na F₂ i F₄ , a z (2) obliczmy a.

Podstawiając otrzymane z (1) i (3) wyrażenia

F₂ = m₁gsinα - m₁a , (4)

F₄ = m₃a + m₃gsinβ , (5)

do (2) mamy

m₂a = m₁gsinα - m₁a - m₃a - m₃gsinβ.

Przenosząc ( - m₁a ) i ( - m₃a ) ze zmienionym znakiem na lewą stronę, wyłączając a przed nawias oraz to samo robiąc z g oraz dzieląc stronami równanie przez sumę m₁ + m₂ + m₃ otrzymujemy wyrażenie na a

Teraz nie pozostaje już nic innego jak wstawić otrzymany wynik do wzorów na F₂ i F₄. Na przykład dla F₂, wzór (4), mamy

Aby to uprościć, pierwszy wyraz musi mieć mianownik m₁ + m₂ + m₃ , tak jak drugi. Stąd

Skracając wyrazy z m₁ · m₁ oraz pamiętając, żeby zmienić znak przed m₃sinβ, a także wyłączając m₁g przed ułamek otrzymujemy

Postępując podobnie dla F₄, wzór (5), otrzymujemy poniższy ciąg równań.

Otrzymane siły F₂ i F₄, wzory (9) i (12), to właśnie napięcia nici w tym układzie ciał.

Na koniec uwaga - akurat w tym zadaniu (jak i też w niektórych innych) w odpowiedzi na końcu zbioru są błędy drukarskie! Przynajmniej w wydaniu z 1976 roku.