Wykresy funkcyjne w fizyce szkolnej - część 1

Szczegóły

Kategoria: Fizyka szkolna

Opublikowano: czwartek, 05 październik 2017 14:20

Autor : Janusz Szcząchor

1. Czy wiesz jak pojawiają się wykresy funkcyjne w fizyce szkolnej?

Aby wyjaśnić powyższą kwestię zajrzyjmy do typowego podręcznika fizyki szkolnej [1].

Już w rozdziale 1 Właściwości materii, w zagadnieniu Trzy stany skupienia znajdujemy opis doświadczenia poświęconego zjawisku topnienia i krzepnięcia, które może wykonać uczeń.

Przedmiotem doświadczenia jest molan, który jest badany w układzie laboratoryjnym schematycznie (w formie przekroju) odwzorowanym na rys. nr 1.

Molan w zlewce 1, o temperaturze pokojowej należy podgrzewać pośrednio poprzez wodę w zlewce 2 do temperatury 65°C za pomocą urządzenia podgrzewającego (najlepiej elektrycznego). Dalej, co dwie minuty trzeba odczytywać jego temperaturę za pomocą termometru w nim umieszczonego i zapisywać w tabeli. Jednocześnie poleca się obserwować zmiany stanu skupienia molanu. Po osiągnięciu temperatury końcowej molan jest wyjęty z wody i podlega samostygnięciu w temperaturze pokojowej. Ponownie należy rejestrować jego temperaturę co dwie minuty.

W podsumowaniu są przedstawione dwa wykresy przedstawiające zależność temperatury molanu od czasu, jeden podczas ogrzewania, a drugi podczas ochładzania. Są one naszkicowane na rys. nr 2.

Niestety, przedstawiony w powyższym podręczniku opis doświadczenia z molanem zawiera w sobie ukryte założenia, których możesz się w ogóle nie domyślać. Są one tutaj kolejno wskazane.

1. Urządzenie ogrzewające jest w stanie, niezależnie np. od wahań napięcia w sieci, dostarczać do wody tą samą ilość energii cieplnej w jednostce czasu.
2. Najpierw jest ogrzewana woda w zlewce 2 tylko po to, aby ta równomiernie ogrzewała molan, dzięki czemu będzie miał tą samą temperaturę w każdym miejscu.

Nawet jeżeli założymy, że ukryte założenia 1 i 2 nie mają wpływu na poprawność toku Twojego rozumowania, to w układzie doświadczalnym naszkicowanym na rys. nr 1 nie tylko żaden uczeń, ale nawet żaden naukowiec nie jest w stanie sporządzić wykresów przedstawionych na rys. nr 2, a co najwyżej te z rys. nr 3.

Aby wolno było w podsumowaniu takiego doświadczenia zastąpić wykresy z rys. nr 3 wykresami pokazanymi na rys. nr 2, tj. połączyć ciągłą linią punktowe wyniki otrzymane z pomiarów co 2 minuty, należałoby w podręczniku przedstawić wyjaśnienie oparte na prawach fizyki odpowiednio dostosowane do Twojego poziomu wiedzy.

Taki przeskok myślowy na lekcji może być dla większości uczniów niezauważalny, ale gdy zapomnisz o lekcyjnych emocjach i będziesz musiał analizować tego typu wykres samemu, to możesz natrafić na lukę myślową, która może spowodować nie tylko to, że nie będziesz potrafił przeprowadzić analizy wykresu, ale nawet nie będziesz rozumiał dlaczego tego nie potrafisz.

Aby nie było niejasności wyjaśniam, że w fizyce wszystkie wykresy o charakterze ciągłym w zasadzie otrzymuje się przy pomocy aparatury potrafiącej rejestrować temperaturę czy inną wielkość fizyczną elektronicznie, gdzie pomiaru dokonuje się co ułamkowe części sekundy lub jeszcze częściej. W przeciwnym wypadku mówi się tylko o dopasowaniu punktowym, a taki wykres jak na rys. nr 2 jest jedynie hipotezą.

2. Analiza wykresu przedstawiającego ogrzewanie pewnej substancji

W podsumowaniu rozdziału 1, podręcznika [1] znajduje się następujące zadanie.

Zadanie to wykorzystamy jako pretekst do nauki analizy wykresów funkcyjnych w fizyce i wskazania niezbędnej w takiej sytuacji wiedzy matematycznej. Wykres przedstawiony na rys. nr 4, to łamana. Składa się ona z 4 odcinków, z których każdy leży na prostej. Ponumerujmy te odcinki.

Odcinki II i IV leżą na prostej poziomej. Pozostałe dwa leżą na prostych nachylonych pod pewnym kątem do poziomu, przy czym kąty te są różne. Każda z tych prostych jest wykresem funkcji zależności temperatury substancji od czasu jej ogrzewania. Oznaczmy ją formalnie T = T(t).

Ponieważ wszystkie odcinki leżą na prostych, więc zależność temperatury od czasu musi być taka sama jak równanie prostej, przy czym rolę zmiennej niezależnej, czyli x pełni rolę tutaj czas t. Zatem formalnie wzór na temperaturę musi mieć postać

T = at + b, (1)

gdzie a, to tangens kąta nachylenia linii prostej będącej wykresem T(t) do osi czasu, a b to wyraz wolny, którego wartość wyznaczamy za pomocą współrzędnych punktu przecięcia (0,b) przez ten wykres osi temperatury [2].

Zatem przyjrzyjmy się wykresowi w części I. Zaczyna się on punkcie (0,-50), a kończy w (t,0), gdzie t jest wartością nie podaną na wykresie. Na oryginalnym wykresie jest siatka milimetrowa, z której widać (mam nadzieję, że tutaj też), że wykres temperatury jest nachylony pod kątem 45° do poziomu. Tangens takiego kąta to 1, a wyraz wolny to -50. Zatem równanie prostej na tym wykresie, to

T = t - 50. (2)

A zatem ta substancja osiąga temperaturę 0°C po 50 umownych jednostkach czasu. Z wykresu i wzoru (2) widać, że temperatura substancji rośnie liniowo z czasem, a stąd ta część wykresu opisuje ogrzewanie.

Z kolei zajmijmy się wykresem na odcinku II. Widzimy, że ten fragment wykresu leży na prostej poziomej, czyli jej kąt nachylenia do poziomu jest równy 0°, którego to kąta tangens jest równy 0. Gdybyśmy ten fragment wykresu przedłużyli w lewo do osi temperatury, to on przeciąłby ją w punkcie (0,0). Zatem wyraz wolny b = 0, więc równanie prostej w tym przypadku to

T = 0. (3)

Na odcinku II temperatura wynosi stale 0°C. Z treści zadania wynika, że mimo dostarczania ciepła do substancji wraz z upływem czasu jej temperatura nie rosła. Zatem pobierane ciepło musiało być wykorzystywane na przemianę fazową, czyli zmianę stanu skupienia w 0°C. Jaka to była przemiana będzie pewne dopiero po przeanalizowaniu całego wykresu.

Przejdźmy do wykresu w części III. Wykres zaczyna się w punkcie (t',0), gdzie t' to wartość nie podana na wykresie, a kończy się w (t'',100), gdzie t'' jest również wartością nie podaną na wykresie. Z wykresu można odczytać (otwórz rys. nr 5 w programie graficznym, gdzie masz dostępne linijki), że przyrostowi temperatury o 100°C odpowiada 80 jednostek, a przedziałowi czasu, w którym to nastąpiło t'' - t' 160 jednostek. Zatem tangens kąta nachylenia tego wykresu to 1/2.

Jednak ustalenie punktu przecięcia osi temperatury przez prostą, na której leży ten fragment wykresu przy pomocy takiego rysunku jest niemożliwe, więc wyraz wolny pozostawimy jako nieznane b (¹). Tym samym zależność temperatury od czasu w części III wykresu jest dana równaniem

T = t/2 + b. (4)

Ponieważ tutaj temperatura również rośnie liniowo z czasem ponownie mamy do czynienia z ogrzewaniem substancji.

Co do wykresu na odcinku IV, to możemy łatwo powtórzyć rozumowanie dla odcinka II i stwierdzić, że w tym przypadku wykres zależności temperatury od czasu jest dany równaniem

T = 100. (5)

Na tym odcinku substancja podlega kolejnej przemianie fazowej, gdyż ponownie pobiera ciepło, ale jej temperatura nie rośnie. Przejdźmy do wniosków.

Skoro mamy dwie przemiany fazowe naszej substancji w temperaturach 0°C i 100°C, to aż chce się powiedzieć, że to woda, która się najpierw topi jako lód, a potem wrze jako woda. Jednak jest małe ale. Ogrzewanie (i ochładzanie) ciał rządzi się poniższym prawem

ΔQ = mcΔT, (6)

gdzie ΔQ, to przyrost wewnętrznej energii cieplnej ciała, m masa ciała, c ciepło właściwe charakterystyczne dla danej substancji, które dla zwykłych temperatur i dla zwykłych przyrostów temperatury jest stałe oraz ΔT to przyrost temperatury. Podzielmy (6) stronami przez Δt, przedział czasu, w ciągu którego ogrzewano substancję. Mamy

ΔQ/Δt = mcΔT/Δt. (7)

Gdyby na rys. nr 5 była podana jednostka czasu (²), to wtedy z tego wykresu byśmy znali ΔT/Δt, czyli prędkość wzrostu temperatury w czasie (tj. tangens kąta nachylenia wykresu do osi czasu) wyrażoną w konkretnych fizycznych jednostkach, a nie w jednostkach umownych.

Ponadto, gdybyśmy znali prędkość ΔQ/Δt dostarczania do ciała ciepła oraz masę ciała m, to na podstawie (7) moglibyśmy policzyć ciepło właściwe c substancji dla części II i IV wykresu.

W końcu, gdybyśmy otrzymali dla części II wykresu wartość zgodną z wartością tabelaryczną ciepła właściwego lodu, a dla części IV ciekłej wody, to dopiero wtedy moglibyśmy uzyskać pewność, że badana substancja to woda.

(¹) Skoro fragment wykresu przechodzi przez punkty (t',0) i (t'',100), to równanie prostej, na której leży ten wykres można ustalić za pomocą wzoru na równanie prostej nieprostopadłej do osi czasu i przechodzącej przez dwa różne punkty. Z uwagi na fakt, że zadanie ma charakter poglądowy nie jest jednak tu konieczne tak znaczne zagłębienie się w geometrię analityczną.

(²) Brak podania jednostki czasu jest spowodowany zapewne tym, że wykres z rys. nr 4 złożono z czterech wykresów do siebie nieproporcjonalnych.

3. Prędkość średnia na wykresie

W zbiorze zadań [3] znajduje się następujące zadanie.

Jak wynika z rys. nr 6 wykres zależności drogi od czasu dla ciała A nie jest linią prostą, zatem prędkość ciała A w tym ruchu nie była stała. Jednak wykres ten to łamana składająca się z dwóch odcinków, z których każdy leży na prostej o innym kącie nachylenia do osi czasu. Oznaczmy części wykresu jako I i II, ważne kąty α i β oraz oznaczmy kolejnymi literami alfabetu istotne dla rozważań wierzchołki, rys. nr 7 .

W części I wykresu ciało A (nie mylić z oznaczeniem wierzchołka) przebyło drogę od wartości 0 do wartości s₁ w przedziale czasu od 0 do t₁. Zatem jego średnia prędkość tutaj to

v_I = Δs_I / Δt_I = s₁ / t₁. (8)

Zauważmy, że zgodnie z I częścią wykresu i (8) prędkość ciała A w tym ruchu, to

v_I = tg α,  (9)

gdzie α w trójkącie ABF, to kąt nachylenia wykresu w części I do osi czasu, s₁ jest równe długości odcinka BF oraz t₁ jest równe długości odcinka AF. Zatem równanie ruchu ciała A tutaj to (wykres przecina oś s w punkcie 0,0)

s = v_It. (10)

Postępując podobnie w części II wykresu (szczegółowe rachunki powinieneś już spróbować sam powtórzyć), możemy stwierdzić, że tutaj z kolei średnia prędkość ciała, to

v_II = Δs_II / Δt_II = (s₂ - s₁) / (t₂ - t₁), (11)

a równanie ruchu ciała teraz ma postać

s = v_IIt + b, (12)

gdzie b, to nieznany wyraz wolny, bo nie znamy miejsca przecięcia osi s przez II fragment wykresu drogi od czasu (³).

Aby wykreślić zależność drogi od czasu dla ciała B musimy ustalić z jaką prędkością średnią poruszało się ciało A. Rzecz jasna chodzi tu prędkość średnią w ruchu na całej drodze. W tym przypadku prędkości średnie ciała A w części I, ani w części II wykresu nie są nam przydatne, bowiem nie chodzi tu o średnią arytmetyczną, czy jakąś inną średnią tych wielkości. Prędkość średnią w całym ruchu liczymy następująco

v_średnia = Δs_całkowita / Δt_całkowity. (13)

Zgodnie z rys. nr 7 Δs_całkowita = s₂, a Δt_całkowity = t₂. Zatem

v_średnia = s₂ / t₂. (14)

Tym samym wykres zależności drogi od czasu dla ciała B powinien być nachylony do osi czasu pod takim kątem γ, którego tangens jest równy właśnie wyliczonej przez Nas prędkości średniej ciała A (14). Pod takim kątem jest nachylony odcinek AC na rys. 7. Zatem nie pozostaje nic innego jak narysować jawnie ten odcinek innym kolorem, co jest przedstawione poniżej na rys. nr 8.

Wykres zależności drogi od czasu dla ciała B jest dany równaniem (b = 0)

s = v_średnia t. (15)

Można zauważyć, że tak jak być powinno kąt γ jest rzeczywiście większy od kąta β, a mniejszy od α. Ponieważ wykresem ruchu jednostajnego jest prosta, zatem to kończy zadanie.

(³) Można go ustalić poprzez wzór na równanie prostej nieprostopadłej do osi czasu i przechodzącej przez dwa różne punkty, ale nie ma to wpływu na rozwiązanie zadania.

LITERATURA

[1] Sławomir Ziemicki, Krystyna Puchowska, Bliżej Fizyki, Gimnazjum, Część 1, WSiP, Warszawa 2008.

[2] Wacław Leksiński, Bohdan Macukow, Wojciech Żakowski, Matematyka w Zadaniach, Dla kandydatów na wyższe uczelnie, Część 1, WNT, Warszawa 1981.

[3] Bogdan MendeL, Janusz Mendel, Zbiór zadań z fizyki, dla klasy I liceum ogólnokształcącego i technikum, WSiP, Warszawa 1976, zadanie 1.31 .