W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 3

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: środa, 14, październik 2015 20:27

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 1.13, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Statek płynie z portu A do portu B z prądem rzeki w czasie t₁ = 4h; czas rejsu powrotnego wynosi t₂ = 8h.
a) Ile czasu płynąłby statek z A do B z wyłączonym silnikiem? b) Czy dysponując powyższymi danymi można obliczyć prędkość prądu rzeki?

Rozwiązanie

Pierwsze pytanie dotyczy czasu płynięcia statku z A do B z wyłączonym silnikiem, czyli z samym prądem rzeki. Gdybyśmy znali prędkość prądu rzeki i odległość od A do B, wtedy rozwiązanie byłoby oczywiste, ale tak nie jest.

Dlatego nie pozostaje nam nic innego jak wypisać wzór na czas płynięcia statku z prądem rzeki z A do B w sposób formalny, a następnie za użyte we wzorze zmienne podstawiać kolejne formalne wzory mając nadzieję, że liczne zmienne dadzą się w końcu zredukować i pozostaną tylko dane podane w zadaniu. A zatem

t _{z prądem} = s_AB / v_rzeki . (1)

Odległość z A do B możemy wyrazić na dwa sposoby. Weźmy najpierw ten, gdy statek ma włączony silnik i płynie z prądem rzeki. Wtedy prędkości statku i rzeki się dodają, statek płynie szybciej niż płynąłby na wodzie stojącej.

s_AB = (v_statku + v_rzeki)t₁ . (2)

Podstawmy to do (1) oraz podzielmy licznik i mianownik przez v_rzeki

t _{z prądem} = (v_statku + v_rzeki)t₁ /v_rzeki = ((v_statku / v_rzeki) + 1) t₁ . (3)

Ze wzoru (3) widać, że czas płynięcia statku tylko z prądem rzeki zależy od danej t₁ oraz od wielkości bezwymiarowej, którym jest iloraz prędkości statku i prędkości rzeki. Dla wygody rachunków oznaczmy tę bezwymiarową wielkość v_statku/v_rzeki jako β i mamy

t _{z prądem} = (β + 1) t₁ . (3')

Aby policzyć tę bezwymiarową wielkość możemy wykorzystać tylko jedno równanie, a mianowicie to, które wyraża równość odległości od A do B niezależnie, czy statek z włączonym silnikiem płynie z prądem rzeki, czy pod prąd (wtedy prędkość rzeki odejmuje się od prędkości statku). Innej oczywistej równości nie mamy!

s_AB = s_AB ,

(v_statku + v_rzeki)t₁ = (v_statku - v_rzeki)t₂ . (4)

Tu dygresja, v_statku jest większa od v_rzeki, bo inaczej statek nie mógłby dopłynąć z B do A pod prąd rzeki! Podzielmy stronami (4) przez v_rzeki i mamy

(β + 1)t₁ = (β - 1)t₂ .

Pozbywamy się nawiasów, czasy t₁ i t₂ grupujemy po jednej stronie równania, a wyrazy z β po drugiej i jest

βt₁ − βt₂ = − t₁ − t₂ .

Wyłączając β po lewej stronie, a minus po prawej mamy

β(t₁ − t₂) = − (t₁ + t₂),

w końcu β jest równe

β = − (t₁ + t₂)/(t₁ − t₂) = (t₁ + t₂)/(t₂ − t₁). (5)

Jak widać ze wzorów (5) i (3'), uda się nam wreszcie wyeliminować pośrednią niewiadomą, czyli β. Podstawiając (5) do (3') mamy

t _{z prądem} = ((t₁ + t₂)/(t₂ − t₁) +1) t₁.

Powyższy wzór jest trochę mało czytelny. Przekształćmy go do prostszej postaci zamieniając 1 na ułamek o mianowniku t₂ - t₁, dodając dwa ułamki i redukując wyrazy podobne otrzymujemy ostateczną odpowiedź

t _{z prądem} = ((t₁ + t₂ + t₂ − t₁)/(t₂ − t₁))t₁ = 2t₁t₂/(t₂ − t₁).

Wartość liczbową z pewnością policzysz sam.

Jeśli chodzi o drugie pytanie, to aby policzyć prędkość rzeki, która zresztą ma wymiar km/h, potrzebujemy zgodnie ze wzorem

v_rzeki = s_AB / t _{z prądem}

jednej danej, która ma wymiar czasu, którą akurat już znamy oraz danej o wymiarze drogi, której nie znamy i w jakikolwiek sposób nie możemy poznać. Niestety nie przydadzą się nam w tym celu dwie wielkości znane, ale obie mające wymiar czasu, bo z nich możemy co najwyżej utworzyć zmienną bezwymiarową!