W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 2

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano:wtorek, 18 sierpień 2015 17:20

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 2.27, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Ciało o masie m₁ = 1kg zsuwa się z klina o masie m₂ = 8kg bez tarcia. Oblicz przyspieszenie klina względem stołu, jeżeli siły tarcia klina o stół można zaniedbać. Kąt nachylenia równi do poziomu wynosi α = 30°.

Rozwiązanie

Kolejne zadanie jest poświęcone zasadom dynamiki Newtona. Jest to ten rodzaj zadania, którego rozwiązaniu powinna być poświęcona osobna lekcja, ponieważ na lekcjach fizyki uczy się ucznia zazwyczaj jak funkcjonuje tylko jedno prawo fizyki i to w kompletnym oderwaniu od pozostałych praw. Tutaj trzeba połączyć kilka zjawisk i praw wpływających na oddziaływujące ze sobą ciała. Uczeń bazujący tylko na szkolnych lekcjach fizyki jest bezradny, bo staje twarzą w twarz przed problemem łączenia ze sobą zjawisk fizycznych, czego nie ma w zasadzie w programie nauczania fizyki i stąd nie ma na ogół w tym kierunku żadnego doświadczenia.

Zapewne wiesz jak się rozkładają siły działające na ciało (nazwijmy je dla wygody klockiem, będziemy tych dwóch nazw używać zamiennie), które zsuwa się po nieruchomej równi pochyłej (klinie). Tutaj jednak równia jest ruchoma i coś w obrazie, który znasz musi się zmienić.

Rozwiązanie tego zadania wymaga umiejętności patrzenia na sytuację fizyczną z różnych układów odniesienia. Naturalnym jest tutaj użycie układu odniesienia związanego ze stołem. Jest to jednak niewygodny układ odniesienia, bo siły F_s i F_n nie mogą działać wzdłuż osi głównych tego układu (i trzeba je rozkładać na kolejne składowe). Ciało, które zsuwa się po nieruchomej równi w takim układzie odniesienia, wykonuje ruch, który rozkłada się na ruchy poziomo w lewo i pionowo w dół. Jeżeli dodatkowo równia też się porusza, tak jak w tym zadaniu, to ona porusza się poziomo w lewo i jej ruch powoduje, że ciało zsuwające się powinno szybciej poruszać się pionowo w dół. Trzymanie się dalej układu odniesienia związanego ze stołem czyni analizę zadania niezmiernie trudną.

Zatem wprowadźmy nowy układ odniesienia primowany, którego punkt (0,0) będzie się znajdował tam, gdzie ciało zaczyna się zsuwać, czyli w punkcie B (rysunek nr 1).

Będzie to również układ odniesienia nieruchomy. Jego oś "pozioma" będzie biegła wzdłuż stoku równi, a "pionowa" będzie prostopadła do niego. Jest to naturalny układ dla rozkładu siły ciężkości na składowe, działającej na nasze ciało zsuwające się po równi (rysunek nr 1). Osie x' i y' tworzą ze sobą kąt prosty, a zatem siły działają wzdłuż nich niezależnie i wzajemnie nie wpływają na swoje działanie.

Stąd ruch ciała zsuwającego się wzdłuż jednej osi można traktować całkowicie niezależnie od ruchu wzdłuż drugiej osi. Tego nie można wykorzystać w układzie związanym ze stołem i dlatego musimy zmienić układ odniesienia.

Jeżeli równia jest nieruchoma, to ciało porusza się tylko wzdłuż osi x' dzięki działaniu siły F_s = m₁gsinα. Wzdłuż osi y' ciało nie porusza się. Dlaczego?

Ciało zsuwające się naciska siłą F_n = m₁gcosα na równię, a ona działa siłą reakcji F_r = - F_n na nie. (Pogrubione litery tutaj oznaczają wektory). Siła ta równoważy składową F_n siły ciężkości i w efekcie ciało jest nieruchome wzdłuż osi y'. Z kolei siła naciskająca na równię jest zrównoważona w jednej części siłą tarcia równi o podłoże, a w drugiej części siłą reakcji stołu na równię.

Jeżeli teraz równia może się poruszać, to sytuacja wzdłuż osi y' się zmienia. Natomiast nic się nie zmienia wzdłuż osi x', bo siły F_n , jak i F_r jako działające prostopadle do osi x' nie mają wpływu na ruch ciała wzdłuż tej osi. Zatem możemy przestać się interesować tym, co się dzieje wzdłuż osi x'.

Skoro równia porusza się po stole w lewo, to w efekcie nasze ciało może zacząć się poruszać wzdłuż osi y'. A skoro ciało się porusza, to oznacza, że siła reakcji równi na ciało nie równoważy już składowej F_n siły ciężkości ciała, jest od niej mniejsza. Stąd na pdst. III zasady dynamiki Newtona wnioskujemy, że siła nacisku ciała na równię też jest mniejsza (patrz rysunek nr 1 bis).

Zatem dla ruchu ciała po ruchomej równi, wzdłuż osi y' możemy zapisać II zasadę dynamiki Newtona jako

m₁gcosα - F_{r bis} = m₁a₁ . (1)

Tutaj jako F_{r bis} oznaczyłem już nową siłę reakcji równi, działającą na poruszające się ciało.

W tym równaniu mamy aż dwie niewiadome, stąd musimy ułożyć kolejne równanie, aby zmniejszyć liczbę niewiadomych. Zajmijmy się zatem samą równią.

Na równię działa teraz nowa siła nacisku ciała mniejsza od F_n i równa co do wartości nowej sile reakcji równi F_{r bis}. Oznaczmy ją jako F_{n bis} i mamy (tutaj pogrubienie oznacza wektory)

F_{n bis} = - F_{r bis} . (1')

Siła ta działa wzdłuż osi y', lecz sama równia nie porusza się wzdłuż tej osi. A zatem siłę tę musimy rozłożyć na składową prostopadłą do stołu, którą równia naciska na stół oraz na równoległą do stołu, dzięki której równia porusza się z przyspieszeniem, które oznaczymy jako a₂ (patrz rysunek nr 2).

Zatem na pdst. rysunku nr 2 i trygonometrii mamy, że

F_{n bis}sinα = m₂a₂,

oraz korzystając z (1') mamy w końcu

F_{r bis} = m₂a₂/sinα  (2)

Niestety mamy trzecią niewiadomą. Aby wyznaczyć a₂ jest tylko jeden sposób. Musimy połączyć ruch ciała z ruchem równi.

Załóżmy, że równia odsunęła się tak, że ciało znalazło się na jej końcu (jakby nie było ruchu klocka wzdłuż osi x' i jego ruch wzdłuż osi y' zacząłby się w punkcie B). Wtedy nasze ciało przebyło drogę wzdłuż osi y' od punktu B do punktu D, a koniec równi po stole od punktu A do punktu D. Gdy ruchy ciała i równi zaczynały się, ich prędkości początkowe musiały być równe 0, a stąd równania na ich drogę są dane poprzez wzory na ruch jednostajnie przyspieszony ( patrz rysunek nr 1 bis), czyli

d_równi = AD = a₂t²/2,

d_klocka = BD = a₁t²/2.

Obie drogi tworzą ramiona trójkąta prostokątnego ABD, z którego trygonometrii wynika, że sinα = BD/AD = a₁/a₂ , czyli

a₁ = a₂sinα . (3)

Co mamy wyliczyć? Skoro a₂, to musimy z równań wyeliminować a₁ i F_{r bis}. Stąd równanie (1), dzięki (3) przybiera postać

m₁gcosα - F_{r bis} = m₁a₂sinα.

Podstawiając wzór na F_{r bis} (2) mamy

m₁gcosα - m₂a₂/sinα = m₁a₂sinα.

Pomnóżmy stronami przez sinα i drugi wyraz przenieśmy na prawą stronę ze zmienionym znakiem, czyli

m₁g cosα sinα = m₂a₂ + m₁a₂sin²α.

Wyłączając przed nawias a₂ i dzieląc przez ten nawias stronami otrzymujemy

a₂ = m₁g cosα sinα/(m₂ + m₁sin²α).

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego sin2α = 2sinαcosα możemy wzór ten przekształcić do postaci

a₂ = m₁gsin2α/2(m₂+m₁sin²α).

Obliczenia liczbowe pozostawiam tobie.

Komentarz

Do rozwiązania zadania konieczne było wprowadzenie primowanego układu odniesienia związanego z miejscem, od którego rozpoczynał się ruch ciała po równi i o takich osiach, aby rozdzielić ruch ciała pod wpływem sił F_s i F_n na dwa niezależne ruchy. Dzięki temu mogliśmy wyeliminować z rozważań siłę F_s, która nie ma wpływu na ruch równi.

Gdy równia zaczyna się poruszać, siła reakcji równi zmniejsza się i F_n nie będąc w pełni zrównoważoną zmusza ciało do ruchu wzdłuż osi y'.

Powyższe zadanie zawiera w sobie nstp. istotne elementy:

1. II zasada dynamiki Newtona,
2. III zasada dynamiki Newtona,
3. wprowadzenie nowego układu odniesienia,
4. powiązanie ruchu jednostajnie przyspieszonego równi z takimże ruchem ciała wzdłuż osi y'.

Jest to złożona sytuacja fizyczna, taka których nie analizuje się na lekcjach fizyki. Trudno wymagać, aby uczeń szkoły średniej sam z siebie umiał łączyć kilka procesów fizycznych w jedną całość (lub rozłożył złożony proces na składowe elementy).