W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 20

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: środa, 06, styczeń 2016 12:16

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 3.78, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Przez nieważki blok przerzucona jest nieważka nitka, na końcach której umocowane są dwa ciężarki o masach m₁ = 20 g i m₂= 40 g. Ciężarek m₂ podniesiono do góry tak, że ciężarek m₁ dotknął podłoża (rys. 3.25). Na jaką największą wysokość podniesie się ciężarek m₁, jeśli puścimy ciężarek m₂? Ciężarek m₂ podniesiony był początkowo na wysokość H = 36 cm.

Rozwiązanie

Podobnie jak w zadaniu poprzednim widać, że kosztem energii potencjalnej ciała o masie m₂ powstaje jego energia kinetyczna oraz energia kinetyczna i potencjalna ciała o masie m₁. Lecz to za mało, aby rozwiązać zadanie, bo ta obserwacja daje nam tylko jedno równanie (wyrażające zasadę zachowania energii) na dwie niewiadome v₁ i v₂ (prędkości ciała pierwszego i drugiego).

Zauważmy jednak, że masy m₁ i m₂ są połączone nicią. Zatem skoro nić jest nierozciągliwa i nieważka (to typowe założenia w zadaniach tego typu), to siły grawitacji działające na obie masy nie działają na te masy pojedynczo, lecz na układ tych mas. Jeżeli dobrze przeanalizowałeś rozwiązanie zadania nr 2.26, to powinieneś się zgodzić, że przyspieszenia co do wartości liczbowej obu mas są jednakowe, a zatem w chwili gdy masa m₂ kończy swój ruch (traci energię kinetyczną w wyniku zderzenia) prędkości obu ciał są identyczne. Zatem v₁ = v₂ = v.

Stąd teraz już możemy obliczyć prędkość obu ciał na mocy samej tylko zasady zachowania energii

Chyba nie masz wątpliwości, że ciało pierwsze znajdzie się na takiej wysokości jakie miało ciało drugie, a drugie na takiej jakie miało pierwsze? Przenosząc drugi wyraz na lewą stronę ze zmienionym znakiem oraz dokonując wyłączeń wspólnych czynników mamy

Stąd kwadrat prędkości v jest równy (nie ma potrzeby obliczania pierwszej potęgi prędkości!)

Po zatrzymaniu się ciała o masie m₂ ciało o masie m₁ może nadal się poruszać w górę kosztem swojej energii kinetycznej. Zatem dodatkowa wysokość h, na którą się ono wzniesie ponad wysokość H (nitka musi być odpowiednio długa) wynika z zasady zachowania energii zastosowanej teraz tylko do masy m₁, czyli

Podstawiając za v² w (4) otrzymane wyżej wyrażenie (3) otrzymujemy

Skracamy w liczniku i mianowniku 2, stronami dzielimy przez m₁g i mamy wyrażenie

Zatem łączna wysokość na jaką wzniesie się ciało m₁, to

x = H + h . (7)

Skoro wyrażenie na h (6) ma w mianowniku sumę m₁ + m₂ , to do takiej samej postaci musimy doprowadzić H, aby można końcowe wyrażenie (7) maksymalnie uprościć. Mnożymy zatem H przez 1 w formie ułamka, który w mianowniku i liczniku zawiera właśnie m₁ + m₂ , oraz dodajemy ułamki. Redukując m₁ w liczniku mamy w końcu

Gdy podstawimy dane, to widać, że ułamek 2m₂/(m₁ + m₂) jest równy 4/3. Zatem nitka musi być dostatecznie długa, czyli blok musi być dostatecznie wysoko, aby ciało o masie m₁ mogło swobodnie wznieść się bez uderzenia w ten blok.