W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 5

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: wtorek, 18 sierpień 2015 11:20

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 1.25, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Prędkość prądu rzeki o szerokości d = 600 m wynosi v₁ = 2 m/s. Pływak może płynąć z największą prędkością v₂ = 6km/h. a) Jaki największy kąt może tworzyć z linią brzegu wypadkowa prędkość pływaka? b) W którym miejscu i po jakim czasie znajdzie się pływak w tym przypadku na przeciwległym brzegu rzeki?

Rozwiązanie

Jest to zadanie, którego pierwsze pytanie na pierwszy rzut oka może wydawać się cokolwiek dziwnie postawione. Zatem na początek wyjaśnię kontekst zadania.

Porównajmy najpierw prędkość pływaka z prędkością rzeki. W tym celu zamieńmy jednostki, a robi się to tak.

v₁ = 2m/s = 2·1m/s = 2·(3600/3600)m/s = 7200m/3600s = 7,2 km/h.

A zatem prędkość pływaka jest mniejsza od prędkości rzeki. Naszkicujmy wtedy sytuację zadaniową w formie rysunku nr 1, dbając o to, aby wektor prędkości pływaka był istotnie krótszy od wektora prędkości rzeki.

O ile wektor prędkości rzeki tworzy z linią brzegową kąt 0°, to wektor prędkości pływaka może tworzyć z nią kąty o wartości od 0° do 180°. Skoro pływak ma tak szeroki wybór kąta płynięcia to jest jasne, że wektor prędkości wypadkowej pływaka (a więc geometrycznej sumy prędkości pływaka i prędkości rzeki) też będzie mógł mieć wiele wartości kąta, jaki będzie on tworzył z linią brzegową rzeki.

Jeżeli będziemy potrafili ustalić w jakim przedziale wartości mieści się ten kąt, to być może będziemy potrafili wybrać ten, o który chodzi w zadaniu, czyli kąt o największej wartości, jaki może tworzyć wektor prędkości wypadkowej pływaka z linią brzegową (¹).

Zapewne wiesz, że aby dodać dwa wektory geometrycznie muszą one mieć wspólny punkt zaczepienia. Jednak ta metoda, akurat w tym zadaniu jest bardzo niewygodna. Należy użyć metody alternatywnej polegającej na doczepieniu wektora prędkości pływaka do końca wektora prędkości rzeki. Wtedy wektor łączący punkt zaczepienia wektora prędkości rzeki z końcem wektora prędkości pływaka i skierowany w stronę przeciwnego brzegi rzeki, to poszukiwany przez nas wektor prędkości wypadkowej pływaka.

Wypadałoby teraz wrysować wszystkie możliwe wektory prędkości pływaka, jednak to uczyni rysunek nieczytelnym. Dlatego zrobimy coś innego. Wrysujemy wszystkie te wektory, ale w ten sposób, że zaznaczymy tylko gdzie się te wektory kończą. Ponieważ każdy wektor prędkości pływaka na tę samą długość, a kąty, jakie tworzą one z linią brzegową zawierają się w przedziale < 0° , 180° >, więc otrzymamy w ten sposób półokrąg o promieniu równym długości wektora prędkości pływaka (rysunek nr 1).

Teraz łącząc początek wektora prędkości rzeki z dowolnym punktem na półokręgu otrzymamy dowolny wektor prędkości wypadkowej pływaka.

Aby znaleźć największy kąt jaki może tworzyć ten wektor z linią brzegową należy wykonać myślowy eksperyment wzrokowy. ' Zaczep ' wzrok na dowolnym końcu półokręgu i przesuwając wzrok po nim patrz jak skierowany jest wektor prędkości wypadkowej. Dojrzysz wtedy, że kąt jaki tworzy wektor prędkości wypadkowej pływaka z linią brzegową jest wtedy największy, gdy wektor ten leży na stycznej do półokręgu. Z własności stycznej wynika, że jest ona prostopadła do tego promienia okręgu, który kończy się na tym punkcie styczności. Skoro wektor prędkości pływaka może być właśnie tym promieniem, więc jasne jest, że wektory prędkości pływaka oraz jego prędkości wypadkowej są w tym przypadku do siebie prostopadłe. Zatem v₁, v₂ (ta wybrana, leżąca na tymże promieniu) i v_wypadkowa (oznaczona na rysunku jako v_w) tworzą trójkąt prostokątny ABD.

Stąd najprościej bez obliczania v_wypadkowa mamy

sin α = v₂/v₁ i α = arc sin(6/7.2) = arc sin 0.833... = 56°26'34''.

Końcowy wynik otrzymano przy pomocy urządzenia elektronicznego (a nie tablic matematycznych - było coś takiego). Jak widać jest to w zasadzie problem raczej geometryczny, a nie fizyczny.

Jeżeli kogoś nie przekonuje powyższy rysunek i ma wątpliwości co do prawidłowości rozwiązania, to zadanie można rozwiązać algebraicznie, ale takie rozwiązanie prawidłowo mogą zrozumieć jedynie Ci, którzy mają opanowane przynajmniej podstawy rachunku różniczkowego (alternatywne rozwiązanie zostanie przeze mnie przedstawione w drugim cyklu mojego poradnika zatytułowanym ' Rachunek różniczkowy i całkowy w fizyce szkolnej ').

Jeśli chodzi o drugie pytanie, to powinieneś już sobie sam poradzić, gdyż do dalszych obliczeń wystarczy znajomość tylko tw. Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych.

(¹) W "Zbiorze zadań z mechaniki ogólnej" tom 2 pod redakcją Jerzego Leyki i Jana Szmeltera, PWN, W-wa 1977, na stronie 153 jest podana ogólna idea rozwiązania tego zadania, ale bez dowodu, jak i wyjaśnień dlaczego proponowana konstrukcja ma dać właściwe rozwiązanie.