Czy cząstka kwantowa może poruszać się klasycznym torem ruchu? - część 1 ^A

Szczegóły

Kategoria: Publikacje naukowe

Opublikowano: niedziela, 11 czerwiec 2017 14:59

Autor : Janusz Szcząchor

Can quantum particle move along classical trajectory?

Abstract: Similarities and differences between classical and quantum mechanics are recalled. The question of existing a classical trajectory to the quantum particle is asked. A wave function to the motion of a classical point is proposed. Original interpretation of a plane wave is given. The notion of wave function field is introduced.

1. Wstęp

Chociaż od odkrycia mechaniki kwantowej upłynęły 93 lata, to nadal istnieją różne, czasami sprzeczne ze sobą poglądy na jej interpretację [1,2]. Pytanie dlaczego nadal się tak dzieje jest oczywiste. Naszym zdaniem na to pytanie istnieje tylko jedna odpowiedź. Mianowicie taka, że fizyczna rzeczywistość jest bardziej skomplikowana niż można by to oczekiwać i całej fizyki kwantowej nie można w zamknąć w przestrzeni Hilberta.

Mechanika kwantowa i klasyczna, choć bardzo się różnią od strony interpretacyjnej, to mają ze sobą wiele wspólnego. Wertując literaturę fizyczną można znaleźć następujące podstawowe podobieństwa między obu tymi teoriami.

• Podobieństwo Nr 1
• Prawa mechaniki klasycznej wyrażone przez nawiasy Poissona przechodzą formalnie w prawa mechaniki kwantowej, gdy nawiasy te zastąpimy przez komutatory podzielone przez iħ a funkcje liczbowe F(q,p,t) opisujące w mechanice klasycznej wielkości fizyczne zostały zastąpione przez operatory F = F(q,p,t), opisujące te same wielkości w mechanice kwantowej [8,9] (tutaj przez q rozumiemy położenia, tj. r_l = r_l(t), a przez p pędy tj. p_l = p_l(t), gdzie indeks l numeruje cząstki, punkty materialne itd.)
• Podobieństwo Nr 2
• Gdy formalnie będziemy zmierzać ze stałą Plancka ħ do zera, to wtedy stacjonarne równanie Schrödingera na funkcję falową ψ(q,t) przejdzie w równanie Hamiltona - Jacobiego z odseparowanym czasem, przy czym faza funkcji falowej ψ(q,t) pomnożona przez ħ przejdzie w funkcję klasycznego działania S(q,t) [5,6]. Jest to tzw. zasada korespondencji między mechaniką kwantową a mechaniką klasyczną.
• Podobieństwo Nr 3
• Jeżeli przez ,,położenie'' i ,,pęd'' paczki falowej będziemy rozumieli średnie ważone czy też wartości oczekiwane tych wielkości, to można pokazać, że ruchy klasyczny i kwantowy są zawsze ze sobą zgodne (twierdzenie Ehrenfesta) [4,6].

Jeśli chodzi o różnice, to oczywiście najpoważniejsze są poniższe.

• Różnica Nr 1
• W mechanice klasycznej [8,9,10] ruch punktu materialnego opisujemy za pomocą wektora promienia wodzącego r. On określa jego położenie jako funkcję czasu t
• 
• Zakładamy, że funkcja r(t) jest jednoznaczna, ciągła i różniczkowalna co najmniej dwukrotnie. Jest to matematyczny wyraz między innymi i tego, że w danej chwili czasu t punkt materialny może istnieć tylko w jednym punkcie przestrzeni położeń r.
• Różnica Nr 2
• W mechanice kwantowej [4] natomiast zakładamy, że funkcja falowa ψ(r,t) będąca rozwiązaniem odpowiedniego równania falowego dostarcza pełnego kwantowomechanicznego opisu zachowania się cząstki o masie m i energii potencjalnej V(r,t), i w tym sensie pełni rolę analogiczną do klasycznej trajektorii (1). Dalej przyjmuje się, że iloczyn funkcji falowej przez jej zespolone sprzężenie jest gęstością prawdopodobieństwa położenia
• 
• Oznacza to, że P(r,t)dxdydz jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w elemencie objętości dxdydz wokół punktu r w chwili t. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek musi być równe jedności, wobec tego funkcja falowa musi być unormowana w całym obszarze, w którym może się cząstka znajdować, czyli
• 

Niestety, wszystkie te postulaty do pewnego stopnia odzwierciedlają pragnienie uzyskania nieosiągalnej doskonałości, ponieważ istnieją rozwiązania równań kwantowych, które nie spełniają warunku (3), a nadal są fizycznie poprawne.

Typowym przykładem takich rozwiązań jest jedno z rozwiązań swobodnych równania Diraca w przedstawieniu standardowym, dla elektronu o spinie w górę [11]

Można je unormować w każdym punkcie (r,t) w takim sensie, że ψ†ψ =1, ale jego norma

jest niestety nieskończona. Naszym zdaniem to rozwiązanie nie jest elementem przestrzeni Hilberta i |ψ(r,t)|² z rozwiązania (4) nie może być traktowane jako gęstość prawdopodobieństwa. Podobna sytuacja pojawia się w przypadku nierelatywistycznym [12].

Biorąc powyższe pod uwagę powstaje pytanie co do fizycznego sensu wartości oczekiwanej zmiennej dynamicznej, na przykład r, kiedy układ jest w stanie swobodnym tj.

Z kolei wydaje nam się, że wyjście z tego problemu dokonane przez Diraca wprowadzające jego funkcję delta faktycznie jest obejściem problemu, ponieważ zostało to osiągnięte drogą formalnych matematycznych zabiegów. Jest to z pewnością doskonałe narzędzie do prowadzenia obliczeń w relatywistycznym rachunku zaburzeń powstałym przy pomocy teorii propagatorów [11], gdzie pozwala to na łatwe wyrażenie zasady zachowania czteropędu w języku funkcji falowych. Jednak w naszym przekonaniu wyraża ona tylko związki ortonormalności dla funkcji własnych ciągłego widma operatora pędu, ale nie posuwa to nas naprzód w kierunku wyjścia z problemów interpretacyjnych.

Problem wektorów stanu typu (4) bardzo waży na zasadzie nieoznaczoności Heisenberga, szczególnie dlatego, że jak się wyraził Born [13] ,,praca Heisenberga zawierająca jego słynną zasadę nieoznaczoności wniosła więcej do szybkiej akceptacji statystycznej interpretacji funkcji ψ niż powyżej wskazane sukcesy''. O co zatem chodzi?

Dowód zasady nieoznaczoności Heisenberga ¹ opiera się na założeniu, że wektor stanu układu jest unormowany i istnieją dla niego wartości oczekiwane operatorów reprezentujących wielkości fizyczne względem siebie kanonicznie sprzężone w sensie hamiltonowskim. A zatem dla wektorów stanu o własnościach takich jak wektory (4) brak jest dowodu słuszności tej zasady, a z podręczników akademickich nie można się czegokolwiek w tej sprawie dowiedzieć [3-6]. Za to są przedstawiane próby obejścia problemu przy pomocy różnych paczek falowych zbudowanych z funkcji własnych operatora pędu w ten sposób, że jest spełniony warunek (3), ale dla paczki falowej. To rozczarowujący fakt.

2. Czy cząstka kwantowa może się poruszać klasycznym torem ruchu?

Kiedy byłem jeszcze studentem zauważyłem, że gdyby swobodny elektron mógł poruszać się klasycznym torem ruchu, to wtedy dzięki temu faktowi, że taki obiekt może istnieć w danej chwili czasu t tylko w jednym położeniu r(t) zniknąłby problem normalizacji swobodnej funkcji falowej, ponieważ wtedy całki (5) i (6) nie miałyby sensu. Fakt, że |ψ(r)|² jest równe 1 w każdym punkcie przestrzeni oznaczałby, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym punkcie, w którym się ona aktualnie znajduje jest równe 1, a w jakimkolwiek innym 0 nie dlatego, że |ψ(r)|² jest równe 0, ale dlatego, że cząstka poruszająca się klasycznym torem ruchu nie może się tam po prostu znajdować. Potwierdzenie się tego faktu oczywiście zmieniłoby interpretację funkcji falowej. Ale jak to udowodnić?

Jeśli chodzi o teorię, to wróćmy do punktu 'Podobieństwo Nr. 2' we Wstępie ² i przypomnijmy, że punktem wyjścia do wyprowadzenia tej własności jest następująca funkcja falowa [5,6] ³

Porównując (7) z (4) widzimy, że w przypadku ruchu swobodnego A(r) = A = const. .

Tak więc przeanalizujemy to podobieństwo jeszcze raz i tym razem zaczynamy od swobodnego równania Diraca

w przedstawieniu standardowym, czyli

a jako próbną funkcję falową weźmy

gdzie φ i χ sa niezależnymi od współrzędnych dwuskładnikowymi funkcjami spinowymi [4]. Zakładając, że funkcja S ma postać

wstawiając (10) do (8) i przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę dostajemy

Jest to układ równań algebraicznych, jednorodnych względem niewiadomych, a zatem jego rozwiązania istnieją tylko pod warunkiem znikania wyznacznika zbudowanego ze współczynników, który ma postać

To oznacza, że przynajmniej jeden z czynników iloczynu (13) jest równy 0. Widzimy, że w drugim nawiasie mamy relatywistyczne równanie Hamiltona-Jacobiego, które jest słuszne w mechanice klasycznej

W pierwszym nawiasie mamy za to wyrażenie, które w mechanice klasycznej jest zawsze różne od 0. Stąd możemy powiedzieć, że jeżeli jest spełnione swobodne równanie Diraca dla funkcji falowej (10), gdzie S jest dane wzorem (11), to wtedy jest spełnione relatywistyczne równanie Hamiltona-Jacobiego (14). Ponieważ funkcja (11) jest właśnie klasycznym działaniem dla swobodnego ruchu cząstki, więc taki elektron (pozyton) powinien poruszać się klasycznym torem ruchu.

Jako dodatkowe wsparcie teoretyczne dla tego wniosku można zacytować [16], gdzie jest podana metoda obliczania przekroju czynnego na kreację związano-swobodnych par elektron-pozyton w układzie zderzeniowym składającym się z jonu pocisku i jonu celu. Autorzy twierdzą, że przy prędkościach relatywistycznych jest bardzo dobrym przybliżeniem założyć, że ruch pocisku odbywa się klasycznym prostolinowym torem ruchu R = b + vt, gdzie v jest prędkością pocisku i b jest parametrem zderzenia.

Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku jednorodnego pola elektrycznego. Jak to pokazano w [17] w tym polu równanie Diraca nie posiada żadnych stacjonarnych rozwiązań, a tylko niestacjonarne. Dla elektronu o spinie w górę rozwiązanie jest podane poniżej

gdzie E i p są funkcjami danymi poniżej

i

Tutaj użyto następujących oznaczeń

i ε jest stałą dodatnią opisującą wielkośc jednorodnego pola elektrycznego

Jak łatwo zauważyć na podstawie wzorów (16) i (17) mechanika kwantowa nie potrafi podać prawidłowych wartości energi i pędu przyśpieszanych cząstek. Jednak jak to również zostało pokazane w [17] wystarczy założyć, że cząstka porusza się klasycznym torem ruchu zgodnie z relatywistyczną wersją II zasady dynamiki Newtona, a uzyskamy poprawne wartości fizycznych wielkości. Co więcej okazuje się, że zawarte w eksponencie wzoru (15) następujące wyrażenie

kiedy je pomnożymy przez stałą Plancka ħ i wstawimy do niego klasyczny tor ruchu, to zamieni się ono w klasyczne działanie dla ruchu elektronu w tym polu.

Jeśli chodzi o kwestię eksperymentalną, to pierwsze co zasługuje na uwagę, to słynne badania nad promieniami katodowymi, które podjął w 1897 J.J.Thomson [18].

Jak podaje [19], w jego innej metodzie otrzymania drugiej zależności między q/m i v  użył on specjalnej rury, w której wiązka promieni katodowych (tj. elektronów) przebiegała przez obszar pola elektrycznego wytwarzanego między dwoma płytami. W strefie tej było także pole magnetyczne wytwarzane przez zewnętrzne cewki. To pole magnetyczne działało na wiązkę siłą skierowaną przeciwnie do siły pola elektrycznego. Jakiekokwiek odchylenie wiązki można było zmierzyć za pomocą skali S na końcu rury.

W prowadzonych przez niego doświadczeniach prędkość elektronów dochodziła do 0.1c. Konsekwencją tych badań w przyszłości było skonstruowanie lamp oscyloskopowych i kineskopowych. We wszystkich tych urządzeniach ruch elektronów był precyzyjnie kontrolowany przy założeniu, że poruszają się one klasycznym torem ruchu i działa na nie klasyczna siła Lorentza.

W praktycznych badaniach cząstek elementarnych używa się paru innych urządzeń, działanie których jest także oparte na założeniu, że cząstka elementarna porusza się klasycznym torem ruchu. Szczególnie można tu wskazać następujące [20].

1. Emulsja jądrowa, gdzie ślad naładowanej cząstki składa się ze skupisk atomów srebra wytworzonych przez nią.
2. Komora mgłowa. gdzie naładowana cząstka, gdy przechodzi przez przesycony gaz, to ona jonizuje ten gaz i jego cząsteczki kondensują się na tych jonach i tworzą ślad.
3. Komora pęcherzykowa, gdzie w ciekłym wodorze w temperaturze około czterech stopni powyżej zera absolutnego tworzą się pęcherzyki na jonach pozostawionych w ślad za przelatującą naładowana cząstką.

W kolejnej sekcji pokażemy jak skonstruować funkcję falową dla cząstki klasycznej wychodząc od faktu, że prawdopodobieństwo znalezienia takiej cząstki jest równe 1 tylko w jednym położeniu r(t) w chwili t i w jakimkolwiek innym równe 0, i przy jakich założeniach otrzymamy wyrażenie identyczne z funkcją falową, która jest funkcją własną operatora pędu w przedstawieniu położeniowym.

^A Niniejszy artykuł zastępuje poprzedni pod tytułem "Dwa typy funkcji falowych". Stanowi jego kontynuację i rozwinięcie.

¹ Jak wynika z [14] obecnie uznawane za w pełni poprawne sformułowanie zasady nieoznaczoności wcale nie pochodzi od Heisenberga, a od Kennarda [15] i to ono jest obecne we wszystkich podręcznikach mechaniki kwantowej.

² Naszym zdaniem 'Podobieństwo Nr 2' tak naprawdę wynika z pierwszego sposobu wyprowadzenia równania Schrödingera zaproponowanego w [7] przez jego odkrywcę.

³ Wyrażenie e^iS(r)/ħ dla funkcji falowej ψ zostało faktycznie wprowadzone przez Schrödingera w jego pracy [7].

LITERATURA

[1] L. E. Ballentine, Rev. Mod. Phys. 42, 358(1970).

[2] J. G. Cramer, Rev. Mod. Phys. 58, 647 (1986).

[3] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Pergamon, Oxford, 1958.

[4] L. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1968.

[5] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Non-relativistic Theory, Pergamon, Oxford, 1958.

[6] A. Messiach, Quantum Mechanics, Volume I, North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1967.

[7] E. Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem I, Annalen der Physik, 79, 361 (1926).

[8] J. A. Shapiro, Classical Mechanics, http://www.physics.rutgers.edu/ugrad/494 bookr03D.pdf .

[9] W. Rubinowicz, W. Królikowski, Mechanika Teoretyczna, PWN, Warszawa, 1978.

[10] H. Goldstein, Ch. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, San Francisco, 2000.

[11] J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1964.

[12] N. Lambert, Introductory Quantum Theory, http://www.mth.kcl.ac.uk ˜lambert/IntroQM.pdf .

[13] M. Born, The statistical interpretation of quantum mechanics, Nobel Lecture (1954).

[14] C. S. Calude, M. A. Stay, International Journal of Theoretical Physics 46, 2013(2007).

[15] E. H. Kennard, Zeitschrift fur Physik 44, 326(1927).

[16] J. Eichler, W. E. Meyerhof, Relativistic Atomic Collisions, Academic Press, San Diego, 1995.

[17] J. Szcząchor, On the wave function of relativistic electron moving in a uniform electric field, https://www.researchgate.net/, (2016).

[18] J. J. Thomson, Phil. Mag. 44, 293, 311 (1897).

[19] D. L. Anderson, The Discovery of the Electron, D. Van Nostrand Company, Inc.,Princeton N. J., 1964.

[20] G. L. Wick, Elementary Particles, Geoffrey Chapman Publishers, London, 1972.