W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - poziom podstawowy, część 7

Szczegóły
Kategoria: Zadania z Fizyki - poziom podstawowy
Opublikowano: piątek, 04, listopad 2016 08:44
Autor : Janusz Szcząchor

zadanie nr VII.27, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - Zbiór zadań z fizyki - kurs podstawowy, WSiP, Warszawa 1976

Belkę o ciężarze 150 N i długości 6 m podparto w odległości 2,5 m od jednego z końców. Jaką siłę należy przyłożyć na końcu belki, aby była ona w równowadze?

Rozwiązanie

Zadanie to tym różni się od typowych zadań na dźwignię, że tutaj układając warunek na równowagę dźwigni nie możemy pominąć ciężaru samej dźwigni. Gdy uwzględniamy tylko ciężarki, odważniki kładzione na dźwigni czy też po prostu siły na nią działające zakładamy, że wszystkie one działają punktowo i nie ma problemu z ustaleniem jakie jest ramię działania danej siły. Tutaj jest jednak inaczej, ciężar belki jest rozłożony wzdłuż całej belki i musimy się zastanowić co zrobić.

Z pomocą może nam przyjść pojęcie środka ciężkości ciała, w tym przypadku belki. Okazuje się już na drodze czysto doświadczalnej, że ciała w polu grawitacyjnym zachowują się w wielu sytuacjach tak jakby ich cały ciężar był przyłożony nie po trochu w całej ich objętości, ale w wybranym jednym ich punkcie zwanym środkiem ciężkości. To pozwala uprościć wiele rachunków.

Pytanie teraz jak wyznaczyć ten środek? Otóż jeżeli pole grawitacyjne jest jednorodne (czyli ma stałą wartość w całej przestrzeni, a takie jest na ogół w pobliżu powierzchni Ziemi) i masa ciała jest rozłożona jednorodnie, czyli ciało ma stałą gęstość niezależnie od miejsca tego ciała, to jego środek ciężkości znajduje się w jego środku geometrycznym.

Jest jeszcze jeden problem. Musimy wziąć pod uwagę fakt, że belka jest tak podparta, że ma dwa ramiona. Biorąc pod uwagę, że naprawdę ciężar belki jest rozłożony w całej jej objętości powinniśmy dojść do wniosku, że ramiona belki działają przeciwko sobie. Tym samym nie możemy szukać środka ciężkości całej belki, ale każdego z ramion z osobna. Zatem ciężar lewego ramienia będzie działał w środku ciężkości lewego ramienia i identycznie będzie z prawym ramieniem.

Nie powinno ulegać chyba wątpliwości, że w naszej sytuacji środek ciężkości każdego z ramion znajduje się w połowie jego długości oraz dodatkową siłę należy przyłożyć na końcu krótszego ramienia.

Załóżmy teraz, że prawe ramię jest dłuższe. Zatem powinniśmy mieć do czynienia z następującym układem sił jak na rysunku poniżej.

dźwignia dwustronna

Żeby nie było niejasności oraz dla nauki dobrych praktyk postępowania przy rozwiązywaniu problemów fizycznych wprowadzimy symbole literowe dla oznaczenia wielkości fizycznych występujących w zadaniu. W ten sposób będziemy mogli profesjonalnie przeprowadzić obliczenia na symbolach i dopiero do końcowego wzoru podstawić dane liczbowe.

Zatem potrzebujemy następujących zmiennych:

  1.  Fp = siła ciężkości prawego ramienia dźwigni,
  2.  Fl = siła ciężkości lewego ramienia dźwigni,
  3.  F = siła, którą należy przyłożyć do końca krótszego ramienia,
  4.  b = długość dłuższego ramienia dźwigni (prawego),
  5.  a = długość krótszego ramienia dźwigni (lewego).

Równanie wyrażające równowagę na tej dźwigni, to

F · a + Fl · a/2 = Fp · b/2 . (1)

Następnie zwróćmy uwagę, że zgodnie z treścią zadania dana b nie jest podana w zadaniu. Za dane natomiast możemy przyjąć: a = 2,5 m oraz l = 6 m. Zatem zmienną b musimy wyrazić przez inne zmienne dane w zadaniu. Można to zrobić tylko tak

b = l - a . (2)

Tak obliczone b wstawiamy do (1) i otrzymujemy

F · a + Fl · a/2 = Fp · (l - a)/2 . (3)

Z kolei musimy obliczyć ile są równe siły ciężkości prawego i lewego ramienia. Musimy je obliczyć poprzez dane zadania. W treści podano, że ciężar belki jest równy 150 N. Tę daną oznaczmy jako P. Jak wcześniej wskazałem masa belki jest rozłożona równomiernie i do obliczenia ciężarów ramion wystarczy posłużyć się proporcją. Skoro 6 metrów belki waży 150 N, to ile waży 2,5 m? Zależność tę wyraża proporcja

P/l = Fl/a . (4)

Czyli

Fl = (P·a)/l . (5)

Podobnie dla drugiego ramienia mamy

P/l = Fp/b = Fp/(l - a ) . (6)

Czyli

Fp = [P · (l - a)]/l . (7)

Tak obliczone Fl i Fp wstawiamy do równania (3). Po tym podstawieniu otrzymamy równanie (8), w którym będą znajdować się już tylko dane podane w treści zadania oraz do wyliczenia niewiadoma F. Mamy zatem

F · a + P · a2/2·l = P · (l - a)2/2·l . (8)

Przystępujemy do wykonywania takich przekształceń wzoru (8), aby otrzymać ostatecznie wzór na F. W tym celu najpierw rozwijamy kwadrat różnicy po prawej stronie równania (8)

P · (l - a)2/2·l = [P · (l2 - 2·l·a + a2)]/2·l,

i wzór (8) przybiera postać (9)

F · a + P · a2/2·l = {P · (l2 - 2·l·a + a2)}/2·l . (9)

Teraz skracamy stronami wyraz P · a2/2·l, po prawej dzielimy licznik i mianownik przez l, w końcu obie strony równania dzielimy przez a i otrzymujemy wzór na F

F = P · (l - 2·a)/(2·a) . (10)

Ostatecznie możemy już podstawić dane zadania, aby obliczyć wartość liczbową F.

F = 150 N · (6 m - 2 · 2,5 m)/(2 · 2,5 m) = 30 N .

Odpowiedź: Należy przyłożyć siłę 30 N na krótszym ramieniu belki.