Metody rozwiązywania równania Diraca - część 2

Szczegóły

Kategoria: Równanie Diraca

Opublikowano: czwartek, 29, październik 2015 20:39

Autor : Janusz Szcząchor

Problem 2, Janusz Szcząchor

Wyprowadź w sposób systematyczny jednoznaczną metodę rozwiązywania równania Diraca w dowolnym polu elektromagnetycznym dla przedstawienia spinorowego tego równania.

Rozwiązanie

Równanie Diraca może być napisane w formie (1)

gdzie H_D , to

czyli Dirakowski operator Hamiltona dla naładowanego leptonu poruszającego się w potencjale elektromagnetycznym A^μ = (A₀ , A) [1]. Tutaj jako p został oznaczony (żeby nie dublować symboliki) operator pędu tj.

Ponadto Ψ, to Dirakowski bispinor, a wielkości α i β, to macierze działające w czterowymiarowej przestrzeni spinorowej. Równanie Diraca jest w istocie, przy niezerowym polu elektromagnetycznym, układem czterech równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu. Daje się go sprowadzić do układu równań algebraicznych tylko wtedy, gdy położymy A₀ = 0 i A = 0.

Gwoli ścisłości wyjaśniam, że konsekwentnie stosuję metrykę g_μν = (1,-1,-1,-1) i dlatego A₀ = A⁰ , a A_i = - Aⁱ. Ponadto uczulam, że e oznacza ładunek cząstki. Tutaj rozumiemy, że ładunek wzięty jest wraz ze znakiem, tak że dla elektronu e = - |e| [2].

W dowolnym polu elektromagnetycznym równanie (1) może być przekształcone [2] w układ równań drugiego rzędu, który przyjmuje postać

gdzie przedstawienie macierzy α jest jeszcze dowolne. Natomiast macierz ½Σ, to trójwymiarowy operator spinu działający na bispinory Diraca, którego postać identyczna w przedstawieniach standardowym i spinorowym ma następująca formę

Z powyższego widać, że w przedstawieniu standardowym ostatni człon równania (4) będzie niediagonalny z uwagi na obecność macierzy α. Aby maksymalnie zminimalizować takie trudności powinniśmy użyć spinorowego przedstawienia macierzy Diraca, które wtedy mają następującą postać

gdzie składowe σ, to macierze Pauliego, a 1 to 2×2 macierz jednostkowa. W ten sposób możemy dalej rozseparowywać równania.

Ponieważ niektóre rozwiązania równania (4) nie spełniają wyjściowego równania (1), konieczne jest przedstawienie systematycznej metody rozwiązywania równania Diraca w przedstawieniu spinorowym w dowolnym polu elektromagnetycznym, tak aby móc łatwo wyselekcjonować tylko te rozwiązania równania (4), które spełniają równanie (1).

Rozłóżmy zatem bispinor Ψ(r,t) na dwa spinory jak niżej

Wówczas równanie Diraca (1) i (2) może być przedstawione używając (7), jako układ dwóch sprzężonych równań różniczkowych. (Dla zainteresowanych, od tej chwili szczegółowe obliczenia umieszczam w dodatkach matematycznych.) Stąd otrzymujemy (patrz → dodatek matematyczny nr 1)

Tutaj opuściliśmy na razie argumenty przestrzenno-czasowe oraz użyliśmy, z uwagi na równość x₀ = x⁰, dla lepszej estetyki oznaczenia

x⁰ = ct . (9)

Pomnóżmy równania (8) stronami przez iħ/mc i wprowadźmy następujące oznaczenia

Dzięki powyższemu możemy równania (8) zapisać symbolicznie jako

Jeżeli równanie (11') potraktujemy jako wzór na funkcję χ i podstawimy je do (11'') właśnie za χ, to otrzymamy równanie II rzędu tylko na φ, które teoretycznie powinno już dać się rozwiązać. Podobnie można postąpić z funkcją φ w równaniu (11'') i podstawiając do (11') otrzymać równanie tylko na χ. Stąd otrzymujemy dwa układy równań określających rozwiązania równania Diraca (1) i (2) w dowolnym polu elektromagnetycznym, a mianowicie

Oraz

Równania drugiego rzędu obu układów są od siebie niezależne, bo z uwagi na niekomutację operatorów (11') i (11") są to dwa różne równania. Jednak układ równań (12), jak i układ równań (13), każdy z osobna, są całkowicie równoważne wyjściowemu równaniu Diraca w polu A^μ, patrz [3]. Dlatego rozwiązując którykolwiek z nich powinniśmy otrzymać pełen zbiór rozwiązań (jeśli chodzi o identyczne przekształcenie dla przedstawienia standardowego równania Diraca, to patrz → dodatek matematyczny nr 2).

Dyskusja rozwiązań

Sądzę, że nadszedł już czas, aby przeprowadzić poważniejszą dyskusję otrzymanych równań potrzebną szczególnie osobom słabo obeznanym z relatywistyczną mechaniką kwantową. Na ogół wiadomo, że swobodne równanie Diraca (przecież niezawierające ładunku elektrycznego) ma rozwiązania o dodatniej energii przypisywane elektronom oraz o ujemnej energii przypisywane pozytonom. Jednak trzeba sobie zdawać sprawę, że zarówno elektron, jak i pozyton mają ładunek elektryczny w każdej sytuacji fizycznej i w niezerowym polu elektromagnetycznym nie można go pominąć w rachunkach.

Elektron i pozyton mają ładunki elektryczne przeciwnych znaków. W dotychczas zapisanych równaniach, zgodnie z uwagą wskazaną wyżej e oznacza ładunek elektryczny wzięty wraz ze znakiem. Oznacza to, że aby otrzymać równania dla elektronu trzeba za e podstawić -|e|, a dla pozytonu +|e|.

Zauważmy zatem, że z układów równań (12), jak i (13) można otrzymać równania dla elektronu, jak i dla pozytonu. Zważmy ponadto, że - patrz [4] - zarówno równania elektronowe, jaki pozytonowe mają rozwiązania o dodatniej oraz o ujemnej energii. A zatem w sytuacji dowolnego pola zewnętrznego okazuje się, że niezależnie od rodzaju cząstki rozwiązania o dodatniej energii odpowiadają tej cząstce, a o ujemnej jej antycząstce. Co zatem zrobić z taką podwójną ilością równań?

W tym miejscu przypomnijmy sobie po pierwsze, że pracujemy w przedstawieniu spinorowym. Po drugie jest jasne, że rozwiązania otrzymane w niezerowym polu, chociażby dla kontroli, będziemy musieli w pewnym momencie skonfrontować z rozwiązaniami swobodnymi, oczywiście w tymże samym przedstawieniu. A jak wyglądają te spinorowe rozwiązania swobodne?

Można znaleźć w [5], że w przeciwieństwie do przedstawienia standardowego to przedstawienie nie różnicuje składowych bispinora na duże i małe.
W przedstawieniu spinorowym rozwiązania swobodne zawierają na pierwszej lub drugiej pozycji 1 (czyli składowa φ), a na przeciwnej 0. Z kolei na 3 lub 4 pozycji (czyli składowa χ) jest coś co dla p → 0 zmierza albo do ±1, albo do 0. To coś co zmierza do 0 dla cp« mc² powinno być bardzo małe.

Przyjrzyjmy się równaniom (10), oba operatory L⁺, jak i L^- zawierają czynnik ħ/mc. W [2] można znaleźć na samym początku książki, że jest to comptonowska długość fali elektronu równa 3,862·10^-14m (w jednostkach podstawowych SI).

Zatem powinniśmy wybrać taki układ równań, który pozwoli nam potraktować składową φ jako rzędu 1, tak żeby któryś z elementów χ miał szansę być mniejszego rzędu. A zatem widać, że powinniśmy spróbować rozwiązać układ równań (12), bo wtedy operator L⁺ ma szansę zmniejszyć składową χ względem φ. Podstawiając za e wartość -|e| otrzymamy równanie dla elektronu. Jego rozwiązania o dodatniej energii przypiszemy tej cząstce (jeżeli w danym polu jakieś rozsądne fizycznie rozwiązania da się znaleźć), a rozwiązania o ujemnej energii przypiszemy oczywiście pozytonowi, a następnie wszystkie rozwiązania skonfrontujemy z rozwiązaniami swobodnymi.

Dokonując odpowiednich przekształceń matematycznych w równaniu II rzędu w układzie równań (12) ( patrz → dodatek matematyczny nr 3 ) otrzymujemy następujące równanie na φ

które wraz z równaniem (11') są całkowicie równoważne wyjściowemu równaniu Diraca i mogą służyć do znalezienia jego rozwiązania w dowolnym polu elektromagnetycznym, o ile będzie to wygodne, aby dla danego zagadnienia użyć prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych w danym układzie odniesienia.

Dodatek matematyczny nr 1

W równaniu Diraca (1) i (2) dokonujemy kolejno następujących podstawień

po których otrzymujemy

następnie za p podstawiamy jawnie ten operator, czyli

a następnie tak otrzymane równanie dzielimy stronami przez c, oznaczamy ct jako x⁰. Z kolei dzielimy je stronami przez iħ oraz przenosimy człony diagonalne na lewą stronę i otrzymujemy w końcu

Jak widać macierz β (w tym przedstawieniu) jest jedynym w tym równaniu elementem niediagonalnym, który miesza ze sobą składowe spinorowe. Równanie to możemy już rozdzielić na dwa równania sprzężone na składowe spinorowe φ i χ, otrzymujemy wtedy równania (8).

Dodatek matematyczny nr 2

Jeśli chodzi o takie samo przejście jak w przedstawieniu spinorowym od równania Diraca w postaci (1) i (2) do jednego z układów równań, albo (12), albo (13), ale w przedstawieniu standardowym, to jest to proste wyłącznie dla stanów stacjonarnych. Spójrzmy poniżej na wyjściowe równanie potrzebne do otrzymania równań postaci podobnej co do formy (8') i (8''). W przedstawieniu standardowym ma ono następującą postać (po dokonaniu przegrupowań członów niezbędnych dla lepszej widoczności)

Trudność tu wynika z oczywistego faktu, że nie można podzielić stronami równania różniczkowego przez operator -∂/∂x⁰ działający na nieznaną funkcję, jak również dzielenie przez energię eA₀ bedącą funkcją może być kłopotliwe poza sytuacją, gdy jest ona stałą. Oczywiście nie twierdzimy, że jest to niemożliwe, ale droga prowadząca w tym przedstawieniu do równań analogicznych do (12) lub (13) jest dość skomplikowana, co podkreśla atrakcyjność przedstawienia spinorowego.

Dodatek matematyczny nr 3

A zatem przechodzimy do równania II rzędu w układzie (12). Podstawiamy jawnie operatory L⁻ i L⁺, wymnażamy przez siebie składniki, korzystamy z poniższej tożsamości 

następnie z faktu, że iloczyn wektorowy wektora z samym sobą to zero, jak również rotacja gradientu to też zero, wzoru na rotację iloczynu funkcji skalarnej i funkcji wektorowej, cechowania Lorentza, definicji indukcji pola magnetycznego oraz natężenia pola elektrycznego, jak również dokonujemy potrzebnych redukcji wyrazów podobnych i otrzymujemy następującą postać operatora L⁻L⁺φ

LITERATURA

[1] J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relatywistyczna teoria kwantów, Część I. Relatywistyczna mechanika kwantowa, PWN, W-wa 1985, §1.4.

[2] W. B. Bierestecki, E. M. Lifszyc, L. P. Pitajewski, Relatywistyczna teoria kwantów,Tom 1, PWN, Kraków 1972, §32.

[3] I. Białynicki-Birula, Z. Białynicka-Birula, Elektrodynamika kwantowa, PWN, Warszawa 1974, §16.

[4] J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relatywistyczna teoria kwantów, Część I. Relatywistyczna mechanika kwantowa, PWN, W-wa 1985, rozdział 5 .

[5] J. Szcząchor, Metody rozwiązywania równania Diraca - Część 1.