W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 23

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: środa, 14, październik 2015 20:27

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 4.40, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Szybki neutron zderza się centralnie i sprężyście z atomem węgla o masie n = 12 razy większej od masy neutronu. Ile razy zmniejszy się prędkość neutronu po N = 10 takich zderzeniach? » Rozwiązanie

zadanie nr 4.46, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Na gładkiej poziomej powierzchni, w pewnej odległości od pionowej ścianki spoczywa kulka o masie m ₁. Druga kula o masie m ₂ porusza się od ścianki w kierunku pierwszej kuli ; następuje centralne i sprężyste zderzenie (rys. 4.12). Przy jakim stosunku mas m ₁/m ₂ druga kula doleci do ścianki, odbije się od niej sprężyście i dogoni pierwszą kulę? » Rozwiązanie

Rozwiązanie

zadanie nr 4.40 ¹

Na początek przypomnijmy [1], że zderzenia sprężyste to takie, w których zostaje zachowana energia mechaniczna zderzających się ciał i nie następuje trwałe ich odkształcenie. Oczywiście, w chwili samego zderzenia ciała się nieco odkształcają, przy czym ich energia kinetyczna zamieniona zostaje częściowo w energię sprężystą odkształcenia, następnie jednak przez działanie wytworzonych przez odkształcenie naprężeń, ciała wracają do swojej postaci pierwotnej i energia sprężysta znów przetwarza się w kinetyczną.

Rozróżniamy dwa typy zderzeń sprężystych, zderzenia centralne i niecentralne. To pierwsze zachodzi wówczas, gdy prędkości zderzających się ciał układają się wzdłuż prostej, łączącej ich środki. W dalszych rozważaniach zakładamy, że ciała nie posiadają ruchów obrotowych, a więc poruszają się ruchem postępowym.

Ponadto zauważmy, że opisane w zadaniu neutron i atom węgla zderzając się oddziałują tylko ze sobą, a zatem tworzą one układ odosobniony. W takim układzie obowiązuje ponadto zasada zachowania pędu. Teraz możemy już przystąpić do rozwiązywania zadania.

Wprowadzam następujące oznaczenia: indeksem N oznaczę wielkości fizyczne związane z neutronem, a C z atomem węgla. Z kolei indeksem 0 oznaczę wartości wielkości fizycznych przed zderzeniem, a 1 po zderzeniu. Zatem zasady zachowania pędu i energii kinetycznej dla obu ciał opisujące ich zderzenie mają postać

Równania te wynikają z faktu, że przed zderzeniem tylko neutron się poruszał.

Jak widać z równań (1) i (2) mamy w nich 5 niezależnych zmiennych, są to masy i prędkości neutronu i atomu węgla, a tylko 2 równania. Stąd musimy dokonać uzgodnienia tych zmiennych z danymi zadania.

Po pierwsze, dane o cząstkach są tak podane, że nie możemy użyć bezwzględnych wartości mas zderzających się cząstek. Musimy podporządkować się informacji, że masa atomu węgla jest 12 razy większa od neutronu i wprowadzić zmienną n. W tym celu dzielimy stronami równania (1) i (2) przez m_N i oznaczamy
m_C / m_N  jako n. Ponadto równanie (2) mnożymy stronami przez 2. W ten sposób mamy poniższy układ równań, równoważny (1) i (2) , czyli

Po drugie, aby udzielić odpowiedzi ile razy zmniejszy się prędkość neutronu po 10 zderzeniach musimy najpierw wiedzieć ile razy zmniejszy się jego prędkość po 1 zderzeniu, czyli musimy policzyć iloraz V_N0 / V_N1. Właśnie ten iloraz, bo skoro neutron zmniejsza prędkość, to V_N0 jest większe od V_N1 i tylko wtedy otrzymamy liczbę większą od 1.

W ten sposób uda się nam zmniejszyć liczbę nieznanych zmiennych do dwóch, czyli V_N0 / V_N1 i V_C1. A skoro mamy też dwa równania, więc jesteśmy pewni, że otrzymamy jednoznaczny wynik. W tym celu z równania (3) wyliczamy V_C1, a otrzymany wynik

wstawiamy do równania (4). Tak otrzymane równanie dzielimy stronami przez (V_N1)², upraszczamy pierwszą potęgę n oraz iloraz V_N0/V_N1 oznaczamy jako β. Powinniśmy otrzymać równanie w formie

β² = 1+ (1/n)(β - 1)². (6)

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę ze zmienionym znakiem oraz rozwijamy kwadrat nawiasu, przegrupowujemy wyrażenia, mnożymy stronami przez n i ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe na β

(n -1)β² + 2β - (n + 1) = 0 . (7)

Współczynniki równania to: a = (n -1), b = 2, c = - (n + 1). Δ jest równa 4n², a więc jest większa od zera, mamy zatem dwa rozwiązania:

β_± = (- b ± Δ^½ )/2a = (-1 ± n)/( n - 1). (8)

Przeanalizujmy wynik (8). Mamy dwa przypadki.

Pierwszy, gdy przy n jest znak "+". Wtedy β jest równe 1. Oznacza to, że prędkość neutronu po zderzeniu nie zmieniła się. Nie mamy tu spowolnienia, zatem nie interesuje nas taki przypadek i odrzucamy go.

Oraz drugi, gdy przy n stoi znak "-" . W tym przypadku |β| jest większa od 1, a zatem mamy spowolnienie. Ponadto β jest ujemne co znacza, że neutron zmienia zwrot prędkości, czyli odbija się od atomu węgla. Po zderzeniu atom węgla też się porusza, ale zwrot jego prędkości jest zgodny ze zwrotem prędkości neutronu przed zderzeniem. Zatem otrzymujemy następujący wynik na β

β = - (n + 1)/(n - 1). (9)

Ponieważ w zadaniu autorzy pytają się tylko ile razy zmniejszy się prędkość neutronu, a nie czy zmieni się zwrot, więc w dalszych rozważaniach możemy pominąć znak "-" we wzorze (9). Zatem skoro po pierwszym zderzeniu mamy

to po drugim zderzeniu tego samego neutronu z drugim spoczywającym atomem węgla jest

a stąd po dziesięciu zderzeniach będzie ostatecznie, czyli odpowiedź jest

Jeżeli zajrzysz do odpowiedzi w zbiorach zadań, to możesz być zdezorientowany, bo w wydaniu z roku 1976 wprawdzie odpowiedź jest prawidłowa, ale powinno być napisane V₀ / V_N = ... , a nie na odwrót, no i nie użyto symboli z zadania. Z kolei w wydaniu z 1992 napisano, że {(n - 1)/(n+1)}^N, to w przybliżeniu 5,5. Oczywiście podstawa N-tej potęgi powinna być odwrócona.

zadanie nr 4.46 ²

Opisane w zadaniu zjawisko faktycznie składa się trzech procesów (rys. 4.12).

1. Centralne i sprężyste zderzenie kuli o masie m ₂ ze spoczywającą kulą o masie m ₁.
2. Zderzenie sprężyste i centralne (choć w treści zadania tego nie napisano, ale zderzenie kuli z płaską ścianką nie może być inne niż centralne) kuli o masie m ₂ ze ścianką.
3. Ewentualne dogonienie kuli o masie m ₁ przez kulę o masie m ₂.

Z uwagi na to, że przed zderzeniem zarówno kula o masie m ₁, jak i ścianka spoczywają do procesów nr 1 i nr 2 można zastosować otrzymane w poprzednim zadaniu wzory. Chodzi tu o wzór (5) określający jaką będzie miało prędkość po zderzeniu ciało początkowo spoczywające oraz wzór (9) określający iloraz prędkości przed zderzeniem do prędkości po zderzeniu ciała początkowo poruszającego się.

Rolę atomu węgla będą grały kula o masie m ₁ oraz nieruchoma ścianka, a rolę neutronu kula o masie m ₂.

W rozwiązaniu zadania zastosujemy następujące oznaczenia.

1. Wektor prędkości będzie miał indeks składający się z trzech pól przedzielonych przecinkami.
2. Pierwszy indeks będzie numerował ciała, 's' - dla ścianki, 'k₁' - dla kuli o masie m₁, 'k₂' - dla kuli o masie m₂.
3. Drugi indeks będzie numerował zdarzenia, '0' - przed zderzeniem, '1' - po zderzeniu.
4. Trzeci indeks będzie numerował zderzenia, 'a' - pierwsze zderzenie, 'b' - drugie zderzenie.

Zacznijmy rozwiązywanie zadania od analizy pytania i zastanówmy się co w języku fizyki oznacza wyrażenie 'druga kula dogoni pierwszą kulę'? Ponieważ należy przyjąć, że między kulami, a podłożem nie występuje tarcie, więc poza momentami zderzeń obie kule poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym, tym samym do odpowiedzi na to pytanie wystarczy ustalenie warunku, kiedy po dwóch zderzeniach kula o masie m ₂ będzie miała nadal prędkość większą od kuli o masie m ₁?

Skoro prędkość końcową kula o masie m ₂ uzyskuje po zderzeniu się z nieruchomą ścianką, więc zaczniemy od analizy tego procesu. Istotnym chwytem w tym rozważaniu jest zauważenie, że matematycznie można opisać fakt nieruchomości ścianki poprzez uznanie, że jej masa jest równa nieskończoności. Aby poprawnie matematycznie policzyć prędkości końcowe ścianki, jak i kuli o masie m ₂ trzeba policzyć granice przy zmierzaniu z n do nieskończoności wzorów (5) i (9), ponieważ to n mówi nam ile razy w zderzeniu tego typu ciało spoczywające jest cięższe od kuli pierwotnie poruszającej się.

Dla kuli o masie m ₂ po odbicu od ścianki potrzebne jest wyrażenie na jej prędkość końcową. Możemy je otrzymać z (9). Stąd mamy do obliczenia dla n zmierzającego do nieskończoności dość skomplikowane wyrażenie, a mianowicie

W liczniku i mianowniku mamy wyrażenia typu nieskończoność plus/minus 1. W porównaniu do nieskończoności jeden, to wartość pomijalnie mała. Zatem ułamek zawiera w liczniku i mianowniku identyczne wartości, stąd ułamek jest równy 1. Wymnożony on jest przez wartość prędkości początkowej tej kuli, a więc wartość skończoną oraz przez -1. Wynika stąd, że po odbiciu od ścianki kula o masie m ₂ zmienia zwrot wektora prędkości na przeciwny, przy czym wartość tego wektora pozostaje niezmieniona (¹)

Co do prędkości końcowej ścianki, czyli wzoru (5) nie powinno dziwić, że jeśli tylko różnica prędkości początkowej i końcowej kuli o masie m ₂ jest skończona (ze wzoru (14) wynika, że różnica ta jest równa podwojonej prędkości kuli o masie m ₂ przed zderzeniem), to gdy ją podzielimy przez coś co jest nieskończone (²), to w wyniku otrzymamy 0, czyli

Widzimy, że ścianka jest naprawdę nieruchoma i treść zadania została poprawnie sformułowana.

Podsumowując tę część rozwiązania należy stwierdzić, że żądanie, aby po drugim zderzeniu kula o masie m ₂ miała wartość prędkości większą od tej dla kuli o masie m ₁ zamienia się w takie samo żądanie, ale dla zderzenia pierwszego. W języku matematyki można to wyrazić jako

przy czym użyliśmy tu wartości bezwzględnych, bo kule mają przeciwne zwroty prędkości po zderzeniu, a Nas interesuje porównanie wartości liczbowych tych wektorów.

Najprościej celem rozwiązania nierówności (16) będzie wyrazić prędkość kuli o masie m ₁ po pierwszym zderzeniu przez prędkość drugiej kuli po tymże zderzeniu. W tym celu w poniższym wzorze wynikającym ze wzoru (5)

wyciągnijmy przed ułamek prędkość drugiej kuli po zderzeniu

Następnie za powstały w ten sposób w liczniku iloraz prędkości przed zderzeniem drugiej kuli do jej prędkości po zderzeniu podstawmy wielkość wynikającą ze wzoru (9) dla tego zderzenia

Z kolei w tym liczniku doprowadzamy uzyskany ułamek i '-1' do wspólnego mianownika, a następnie upraszczamy cały duży ułamek skracając w jego liczniku i mianowniku 'n'. Powinniśmy dostać

Zmieniając w (18) znak przed '2' na przeciwny oraz dla bezpieczeństwa zamykając prędkość drugiej kuli po zderzeniu wartością bezwzględną otrzymujemy wzór na wartość bezwzględną prędkości pierwszej kuli po zderzeniu

Podstawiając (19) do (16) otrzymujemy, że n > 3, a uwzględniając czym jest n mamy odpowiedź, że

(¹) Przedstawione przeze mnie metody liczenia granic noszą charakter jakby trochę heurystyczny, bo nie wiem, czy umiesz liczyć granice ciągu nieskończonego. Na podstawie twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów (podane np. w [2]) ścisłe obliczenia prowadzące od wzoru (13) do wzoru (14) są następujące

(²) Na podstawie twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów ścisłe obliczenia wzoru (15) są następujące

LITERATURA

[1] Szczepan Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna - Część 1, PWN, Warszawa 1980, §27 Zderzenia kul

[2] W. Leksiński, B. Macukow, W. Żakowski, Matematyka w zadaniach, część 1,, rozdział 5.6., WNT, Warszawa 1972.