Rachunek różniczkowy i całkowy w fizyce szkolnej - część 5

Szczegóły: Kategoria: Rachunek różniczkowy i całkowy w fizyce szkolnej; Opublikowano: czwartek, 18, maj 2015 13:25; Autor : Janusz Szcząchor

zadanie nr 3.43, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Udowodnij, że moc silnika poruszającego pojazd ruchem jednostajnie przyspieszonym nie jest stała, lecz wprost proporcjonalna do czasu. Użyj rachunku różniczkowego.

Rozwiązanie

Jeżeli siła wykonująca pracę nie zależy od przesunięcia, to możemy stosować zwykły wzór na pracę. W ruchu jednostajnie przyspieszonym, jeżeli ciało ma stałą masę, z uwagi na stałość przyspieszenia działająca siła jest stała. Zatem

W = Fx . (1)

Ponieważ mamy zbadać zależność mocy od czasu musimy wydobyć pełną zależność pracy od czasu. Stąd za x podstawiamy at²/2, a za F zgodnie z II zasadą dynamiki ma. Dlatego mamy

W = (m/2)a²t² . (2)

Wzór (2) zawiera stałe m i a, które już nie zależą od czasu i dlatego możemy już badać zależność mocy od czasu. Zwykły wzór na moc to

P = W/t,

ale jego nie możemy tu zastosować, gdyż (2) zawiera czas w drugiej potędze. Konieczne jest zastosowanie rachunku różniczkowego. Chodzi o wzór

P = dW/dt . (3)

Liczymy i otrzymujemy wynik

pochodna pracy po czasie

Zatem rzeczywiście moc silnika poruszającego pojazd ruchem jednostajnie przyspieszonym jest wprost proporcjonalna do czasu.