W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 19

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: środa, 06, styczeń 2016 11:36

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 3.75, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Ze szczytu klocka o kształcie pokazanym na rysunku 3.22 o masie m₁ = 200g i wysokości h = 32cm puszczono ciało o masie m₂ = 5g. Jaką prędkość będzie miał klocek, a jaką ciało w chwili, gdy ciało opuści klocek? Tarcie między klockiem i ciałem oraz między klockiem i podłożem nie występuje. » Rozwiązanie

zadanie nr 4.31, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Dwie kule zawieszone na równoległych niciach o tej samej długości (rys. 4.4) stykają się. Kula o masie m ₁ = 0,2 kg zostaje odchylona od pionu tak, że jej środek ciężkości wznosi się o h = 4,5 cm do góry i puszczona swobodnie. Na jaką wysokość wznoszą się kule po zderzeniu niesprężystym, jeśli masa drugiej kuli wynosi m ₂ = 0,5 kg? » Rozwiązanie

Rozwiązanie

zadanie nr 3.75 ¹

Jeśli chodzi o zadania z działu energia kinetyczna i potencjalna, to zasadniczym ich celem jest pokazanie, że do rozwiązania wielu problemów fizycznych nie jest konieczne rozwiązywanie równań ruchu, a wystarczy jedynie stosowanie zasad zachowania. Zastosowanie zasad zachowania na ogół daje szybszy sposób otrzymania rozwiązania.

Przechodząc do omówienia tego zadania zauważmy, że oczywiście ciało o masie m₂ zsuwając się w dół kosztem swojej energii potencjalnej nabywa energię kinetyczną. Ale powstaje pytanie, dlaczego ciało niezsuwające się o masie m₁ w ogóle ma mieć jakąś prędkość?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóż na składowe siłę ciężkości ciała drugiego w dowolnym punkcie toru. Otrzymasz odpowiedź, że pojawia się składowa F_N normalna do krzywizny łuku, po którym ciało się porusza. Ona naciskając na ciało pierwsze zmusza je do ruchu w prawo. Siła F_N jednak zależy od kąta, jaki tworzy z poziomem normalna do łuku. A zatem F_N nie jest stała w czasie, a stąd przyspieszenie jakie uzyskuje ciało m₁ nie jest stałe w czasie i zależy od miejsca położenia ciała na łuku. Biorąc pod uwagę jeszcze siłę reakcji ciała pierwszego na drugie mamy w ten sposób zawiły problem matematyczny, którego nie da się rozwiązać bez rachunku całkowego. Zadanie można jednak rozwiązać prościej.

Wyjściem z problemu są dwie konkluzje.

1. Zauważ, że ciała m₁ i m₂ tworzą układ izolowany, nie oddziaływują z innymi ciałami. A zatem do ruchu tych ciał można zastosować zasadę zachowania pędu.
2. Nad ciałem m₂ pracę wykonuje siła grawitacji. Jest ona siłą zachowawczą, praca w polu tej siły nie zależy od toru ruchu, a jedynie od różnicy potencjałów grawitacyjnych między końcowym i początkowym punktem toru ruchu ciała m₂. Dlatego do tego ciała można stosować zasadę zachowania energii.

Stąd mamy odpowiedź, że w tym zadaniu nie trzeba rzeczywiście rozwiązywać równań ruchu ciał, ani obliczać oddziałujących sił.

A zatem kosztem energii potencjalnej ciała m₂, oba ciała m₁ i m₂ nabywają energię kinetyczną, co możemy matematycznie wyrazić jako

m₂gh = [m₂(v₂)²]/2 + [m₁(v₁)²]/2 . (1)

W chwili początkowej oba ciała są nieruchome, a zatem ich sumaryczny pęd jest zero. Oba ciała tworzą układ izolowany, a zatem w chwili gdy klocek opuszcza ciało ich sumaryczny pęd rownież musi być zero. Zatem rachunkiem wektorowym możemy to wyrazić jako

⟶⟶p₁ + p₂ = 0.

Oznacza to, że w chwili końcowej pędy ich są równe co do wartości, lecz mają przeciwne zwroty. Stąd

⟶⟶p₁ = − p₂,

co liczbowo oznacza, że

m₁v₁ = m₂v₂ . (2)

Dwa równania (1) i (2) tworzą układ równań na dwie niewiadome v₁ i v₂, który powinien dać się rozwiązać, jeśli jest niesprzeczny. Zatem

v₁ = (m₂ /m₁)v₂ , (3)

(v₁)² = (m₂/m₁)²(v₂)². (4)

Podstawiając (4) do (1) mamy

skracamy m₁ w trzecim ułamku oraz wyłączamy po prawej przed nawias [(v₂)²]/2 i otrzymujemy

W nawiasie sprowadzamy wyrazy do wspólnego mianownika m₁ i mamy

oraz mnożymy stronami przez 2m₁, co daje nam

2m₁m₂gh = (v₂)²{m₁m₂+(m₂)²}. (8)

Wyłączamy przed nawias po prawej stronie m₂, skracamy równanie stronami dzieląc przez m₂ i otrzymujemy

2m₁gh = (v₂)²(m₁ + m₂). (9)

Widać stąd, że

Wstawiając powyższe do równania (3) otrzymujemy, że

Podnosząc m₁ w mianowniku przed nawiasem do kwadratu i jednocześnie wprowadzając je pod pierwiastek możemy skrócić po jednym m₁ i mamy

I to jest rozwiązanie tego zadania.

zadanie nr 4.31 ²

Opisane w zadaniu zjawisko składa się z następujących procesów (Rys. 4.4).

1. Zamiana energii potencjalnej ciężkości w ciele o masie m ₁ na jego energię kinetyczną poprzez spadek z wysokości h.
2. Niesprężyste zderzenie się ciał o masach m ₁ i m ₂. Konsekwencją takiego zderzenia jest połączenie się tych ciał.
3. Zamiana energii kinetycznej ciała o łącznej masie m ₁ + m ₂ w jego energię potencjalną ciężkości poprzez wzniesienie się na pewną wysokość H.

Aby zadanie miało sens pomijamy wszelkie straty energii na procesy nieuwzględnione powyżej.

W pierwszym procesie obowiązuje zasada zachowania energii dla ciała o masie m ₁, zatem

W drugim procesie, który jest niesprężysty obowiązuje tylko zasada zachowania pędu. Kula o masie m ₁ przekazuje część swojego pędu drugiej kuli. Oznacza to, że pęd połączonych kul o masie m ₁ + m ₂ będzie równy początkowemu pędowi pierwszej kuli

Konsekwencją tego będzie poruszanie się obu kul z identycznymi prędkościami.

W końcu w trzecim procesie ponownie obowiązuje zasada zachowania energii, czyli

Skoro należy wyliczyć H, to z (3) mamy

Z (2) wyliczamy v ₁₂ i podstawiamy do (4)

Jeszcze z (1) wyliczamy kwadrat v ₁, wstawiamy do (5) i otrzymujemy ostateczny wynik

gdzie po drodze skrócilismy 2g.