W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 4

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: środa, 16, listopad 2015 15:55

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 1.22, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Czas trwania rejsu statkiem po jeziorze z portu A do portu B wynosi t. Udowodnij, że gdyby porty A i B leżały nad rzeką, to czas rejsu z A do B i z powrotem trwałby dłużej niż 2t.

Rozwiązanie

Jest to zadanie bardzo podobne do poprzedniego. Tym razem mamy przeprowadzić dowód czegoś, co na " zdrowy rozum " wydaje się dziwne i paradoksalne. A jednak!

Na samym początku, zwróćmy uwagę na to, że jedyną wyraźnie wskazaną 'daną' w zadaniu jest czas t. Natomiast istotą zadania jest zjawisko dodawania się i odejmowania prędkości statku i rzeki. W tej sytuacji musimy sami ustalić jakie dodatkowe wielkości fizyczne należy potraktować jako uzupełniające dane zadania, a jakie tylko jako zmienne pośrednie, które w końcowych wyrażeniach będą nieobecne.

Czas trwania rejsu statkiem po jeziorze z portu A do portu B i z powrotem oznaczmy jako Δt'. Składa się on z dwóch odcinków czasu, które w tym przypadku są identyczne i równe t. Zatem

Δt' = 2t . (1)

Z kolei, gdy statek płynie po rzece, to łączny czas płynięcia statku między portami A i B składa się z dwóch przedziałów czasu, tym razem nierównych sobie

Δt'' = t_A➞B + t_B➞A . (2)

Aby móc porównać ze sobą wzory (1) i (2) musi się dać wyrazić Δt'' jako funkcję czasu t oraz jakiś ewentualnie zmiennych uzupełniających. Stąd wprowadźmy, tak trochę na próbę, jako zmienne:

1. drogę (przypominam, że w fizyce używa się tej nazwy w sensie odległości) z A do B, czy też z B do A (nie ma tutaj znaczenia zwrot ewentualnego kierunku wektora prędkości statku) oznaczoną jako s,
2. oraz prędkość statku jako v_s, a prędkość rzeki jako v_r.

Żeby nie było wątpliwości nadmieniam, że zgodnie z ideą klasycznego składania prędkości prędkość statku nie zmienia się, niezależnie czy statek płynie po jeziorze, czy po rzece z prądem, czy pod prąd.

Załóżmy (co nie ma formalnego znaczenia, ale którąś możliwość trzeba wybrać), że z A do B statek płynie z prądem rzeki, a z powrotem pod prąd. Wtedy

t_A➞B = s/(v_s + v_r),

oraz

t_B➞A = s/(v_s - v_r).

Aby to drugie wyrażenie miało sens, prędkość statku v_s musi być większa od prędkości rzeki v_r. Razem otrzymujemy

Δt'' = s/( v_s + v_r ) + s/( v_s - v_r) . (3)

Teraz czas na przekształcenia algebraiczne, co do których możesz mieć brak doświadczenia. Sprowadźmy składniki w (3) do wspólnego mianownika, którym będzie (v_s + v_r)(v_s - v_r) = v²_s - v²_r. Mamy stąd

Δt'' = s(v_s - v_r)/(v²_s - v²_r) + s(v_s + v_r)/(v²_s - v²_r)

= 2sv_s/(v²_s - v²_r) . (4)

Zauważmy, że gdy statek płynie po jeziorze, wtedy v_r = 0 i droga s da się wyrazić jako

s = v_st . (5)

Wtedy wstawiając to do (4) otrzymujemy, że

Δt'' = 2tv²_s/(v²_s - v²_r).

Podzielmy licznik i mianowik przez v²_s i otrzymujemy

Δt'' = 2t/(1 - v²_r/v²_s).

Teraz porównajmy Δt' i Δt''.

Δt'' ? Δt'

2t/(1 - v²_r/v²_s) ? 2t . (6)

Widać stąd łatwo, że jeżeli v_r = 0, to oba czasy są sobie równe. Jeżeli v_r jest różne od 0, to przypominając, że ruch statku w górę rzeki (czyli pod prąd) jest tylko wtedy możliwy, jeżeli v_s > v_r to widzimy, że

0 < v²_r/v²_s < 1 .

Zauważmy, że (6) można przepisać jako

2t/(1 - v²_r/v²_s) ? 2t/1.

Stąd, jeżeli tylko v_r jest różne od 0 i v_r < v_s, to mianownik pierwszego ułamka jest zawsze mniejszy od 1, czyli pierwszy ułamek będzie zawsze większy od 2t. Zatem to jest żądany dowód w zadaniu - czas płynięcia z A do B i z powrotem jest zawsze większy, gdy statek płynie po rzece niżby płynął po jeziorze.

Można zauważyć, że gdy v_r jest coraz bliższe v_s, to czas płynięcia statku tam i z powrotem rośnie do nieskończoności, bo mianownik pierwszego ułamka zbliża się do zera.