Czy cząstka kwantowa może poruszać się klasycznym torem ruchu? - część 2

Szczegóły

Kategoria: Publikacje naukowe

Opublikowano: wtorek, 13 czerwiec 2017 16:01

Autor : Janusz Szcząchor

Can quantum particle move along classical trajectory?

Abstract: Similarities and differences between classical and quantum mechanics are recalled. The question of existing a classical trajectory to the quantum particle is asked. A wave function to the motion of a classical point is proposed. Original interpretation of a plane wave is given. The notion of wave function field is introduced.

3. Funkcja falowa cząstki klasycznej

Na początek załóżmy, że swobodny punkt materialny ⁴ o masie m porusza się ze stałą prędkością v . W tej sytuacji jest to ruch jednostajny prostoliniowy. Jednak nie skupiajmy się nad wektorem promienia wodzącego tego ciała, a spróbujmy opisać jego ruch w języku prawdopodobieństwa.

Wszystkie ruchy klasyczne mają jedną wspólną cechę (również ruch zerowy, czyli spoczynek), że w danej chwili czasu t przedmiotowy punkt materialny istnieje tylko w jednym położeniu r(t). Oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia ciała w tym miejscu, w którym się ono aktualnie znajduje wynosi 1, a w pozostałych 0.

Jest to ważna różnica w stosunku do obrazu kwantowego generowanego przez typowe funkcje stanów stacjonarnych np. oscylatora harmonicznego, czy atomu wodoru. W przeciwieństwie do tego tamte rozkłady prawdopodobieństwa są ciągłe. Dlatego posługiwanie się tutaj gęstością prawdopodobieństwa prowadziłoby do poważnych problemów matematycznych. Stąd wprowadźmy następującą funkcję.

Definicja 1

Niech funkcja P stwierdza istnienie naszego punktu materialnego. Będzie ona przyjmować wartość 1 w tym miejscu, w którym ciało aktualnie się znajduje, a w pozostałych 0. Określa ona ile wynosi prawdopodobieństwo znalezienia ciała w danym miejscu (a nie gęstość prawdopodobieństwa).

Dzięki takiej definicji nie ma sensu, z fizycznego punktu widzenia, wykonywania całkowania tej funkcji po całej przestrzeni. Stąd funkcja ta nie musi posiadać własności całkowalności, jest to nieistotne.

Skoro nasz punkt materialny porusza się w sposób klasyczny, więc jego ruch może być opisany poprzez funkcję promienia wodzącego r = r(t). Zatem dla każdego punktu leżącego na torze ruchu mamy P(r(t)) = 1, a w pozostałych miejscach P = 0. Dlatego możemy pokusić się o poszukanie możliwie szerokiej klasy funkcji, przy pomocy których możnaby opisać ewolucję czasową funkcji prawdopodobieństwa znalezienia ciała na torze ruchu, w kolejnych chwilach czasu. Jest też oczywiste, że funkcja P na torze ruchu jest funkcją ciągłą. ⁵

Do konstrukcji funkcji możemy wykorzystać poniższe własności:

- stałość funkcji P wzdłuż toru ruchu,

- warunek brzegowy dla chwili początkowej ruchu P(r(t₀)) = 1.

Z matematycznego punktu widzenia funkcja P jest polem skalarnym, a tor ruchu jest powierzchnią (a raczej krzywą) ekwiskalarną, na której ta funkcja przyjmuje stałą wartość równą 1.⁶ Z własności krzywej ekwiskalarnej [21,22,23] wynika, że

czyli przyrost funkcji pola skalarnego P wynosi 0, jeśli posuwamy się o dowolny wektor infinitezymalny dr leżący na krzywej ekwiskalarnej.

Jednak w tym momencie nie interesują nas dowolne przesunięcia wzdłuż toru ruchu, a tylko te zadane przez ruch naszego punktu materialnego. Z definicji wektora prędkości chwilowej wynika, że

gdzie u - jest jednostkowym wektorem stycznym do toru ruchu cząstki, który jest dany za pomocą funkcji wektora wodzącego r(t) i ds = |dr| (patrz np. [9]).

Zatem na podstawie (21) możemy napisać, że

i

gdzie v jest

oczywiście prędkością cząstki.

Widzimy zatem ze wzoru (23), że dla klasycznego ruchu punktu materialnego ze stałą prędkością gradient funkcji P jest zawsze prostopadły do jednostkowego wektora u, stycznego do toru tego punktu materialnego, niezależnie od wielkości jego prędkości.

Jest też oczywiste, że dla różnych wektorów jednostkowych u (tj. wskazujących różne kierunki w przestrzeni) są różne wektory gradientu, które są prostopadłe do nich i także różne pola skalarne P.

Po raz pierwszy przyszedł czas, aby odnieść się do mechaniki kwantowej, ponieważ trzeba zauważyć, że postać funkcjonalna funkcji falowej (ale nie wartość) opisującej ruch swobodnej cząstki kwantowej nie zależy zarówno od pędu p, jak i wektora r , patrz [4].

Naszym zdaniem, ten sam rezultat osiągniemy w mechanice klasycznej tylko wtedy, gdy założymy, że

Pole skalarne spełniające warunek (24) spełnia zawsze warunek (23), niezależnie od wartości, zwrotu i kierunku wektora prędkości. A zatem otrzymaliśmy pierwsze ograniczenie na postacie funkcjonalne pola P.

Proszę się nie dziwić poszukiwaniom powyższej uniwersalności. Jest to świadome dążenie, aby zbliżyć się do uniwersalności stanów własnych operatora pędu w mechanice kwantowej. Przez analogię szukamy tego typu uniwersalnej formy funkcji falowej w mechanice klasycznej.

Warunek (24) w przypadku naszego pola P opisującego klasyczny, jednostajny ruch prostoliniowy generuje zatem następujące żądanie.

Niech punkt materialny porusza się w przedziale czasu domkniętym < t₀ , t₁ >. W ciągu tego czasu porusza się on torem ruchu od punktu r₀ = r(t₀) do punktu r₁ = r(t₁). Warunek brzegowy na wartość pola P wynosi

Poszukajmy zatem możliwie szerokiej klasy postaci funkcjonalnych pola P spełniających powyższy warunek brzegowy oraz wniosek z (24), czyli

gdzie i = 1,2,3 dla każdego położenia naszego punktu materialnego r(t) w przedziale < t₀ , t₁ >. ⁷

Postacie funkcjonalne pola P spełniające powyższe żądanie są bardzo szerokie. Najprostsza, to zwykła funkcja stała, równa wszędzie 1. Ale taka funkcja jest bardzo mało ciekawa, bo nie zawiera w sobie żadnej dynamiki. Dużo bardziej ciekawsza jest funkcja P w formie iloczynu skalarnego dwóch pól wektorowych.

Oczywiście dozwolona klasa takich pól jest znowu niezwykle szeroka, ale Nas będzie interesować, właśnie przez analogię z mechaniką kwantową, przypadek dwóch pól wektorowych, dwuwymiarowych dających funkcję P w formie następującego iloczynu skalarnego

gdzie g_αβ jest tensorem metrycznym. Stąd warunek (26) w zastosowaniu do proponowanej postaci pola (27) przyjmuje postać

O g_αβ zakładamy, że jego elementy są stałymi. Powstaje teraz pytanie, jaką dynamikę nadać polom Φ^α(r) i Ψ^β(r)?

Nie będę ukrywać, że dynamika ta ma prowadzić do rozwiązań mechaniki kwantowej. A zatem zakładamy, że

gdzie

Zakładamy, że A i B to macierze o stałych współczynnikach i ich składniki są identycznymi stałymi dla każdego indeksu i = 1,2,3.

Podstawiając (29) i (30) do (28) i zmieniając nieme wskaźniki sumowania otrzymujemy

Interesuje nas znowu sytuacja taka, aby warunek (32) był spełniony w spsób niezależny od konkretnej postaci pól Φ^α(r) i Ψ^β(r). Jedyna taka uniwersalna możliwość, to

A^T_i g + g B_i = 0, (33)

zapisana w formie czysto algebraicznej, bez wskaźników [24].

Powstaje pytanie jaką postać nadać g_αβ? Analogia ze stanami własnymi operatora pędu podpowiada, że poszukujemy rozwiązań o formalnej postaci

Φ^α(r) = (γ(r), ω(r)), (34)

Ψ^β(r) = (γ(r), - ω(r)), (35)

gdzie γ(r) i ω(r), to nowe funkcje skalarne, ciągłe względem zmiennych x, y i z na torze cząstki. Wtedy pole P (27) ma postać

P (r) = γ ² (r) + ω ² (r), (37)

czyli kwadrat modułu zwykłej zespolonej funkcji falowej. W tej sytuacji warunek (33) daje

a₁ = - b₁ , (38)

a₃ = b₂ , (39)

a₂ = b₃ , (40)

a₄ = - b₄ . (41)

Skoro elementy macierzy A, B są liczbami, to można wybrać macierze o elementach 0 i ±1, jako bazę przestrzeni rozwiązań. Wśród wielu możliwości, moim zdaniem bardzo ciekawe są:

Skończonemu przesunięciu naszego punktu materialnego od położenia oznaczonego wektorem r₀ do położenia wyznaczonego przez wektor r₁ będzie odpowiadała odpowiednia skończona transformacja wektorów Φ^α(r) i Ψ^β(r).

Aby otrzymać postać transformacji pól rozwińmy funkcję pola np. Ψ^β(r) wokół punktu r₀. Stąd dla dowolnego r₁ (r₁ = r₀ + Δr) rozwinięcie w szereg Taylora tego pola daje [25]

Ponadto skonkretyzujmy postać macierzy B ( i analogicznie macierzy A ) do postaci

gdzie

i p_i są składowymi pewnego wektora, a ħ stałą Plancka. Wtedy równanie (30) przyjmie formę

A zatem rozwiązanie (43) przyjmie postać

Można łatwo sprawdzić, że ewolucja pól Φ^α(r) i Ψ^β(r) dokonująca się przy przesunięciu o wektor Δr od punktu opisanego wektorem r₀ (używamy tu oznaczenia x = (Δr · p)/ħ) ma następującą postać ⁸

Powyższe rachunki zostały celowo przeprowadzone bez użycia funkcji zespolonych, aby zachować odrębność matematyczną od mechaniki kwantowej. Teraz pokażemy, że wyselekcjonowane przez mnie rozwiązanie jest tożsame z funkcjami własnymi operatora pędu.

Zastąpmy pola Φ^α(r) i Ψ^β(r) ( wzory (34) i (35)), ich zespolonymi wersjami tj.

Φ ^α (r) -> Φ(r) = γ(r) + iω(r), (50)

Ψ ^β (r) -> Ψ(r) = γ(r) - iω(r). (51)

Oczywiście, że Φ(r) = Ψ*(r). Wtedy równanie (46) przyjmie postać

A zatem funkcja Ψ(r) jest analogiem funkcji falowej - stanu własnego operatora pędu, a Φ(r) jej zespolonym sprzężeniem. Równanie (52), to równanie własne operatora pędu. W tej sytuacji ogólne rozwiązanie (47) dla funkcji Ψ(r) ma postać

( dla Φ(r₀ + Δr) wystarczy dokonać zespolonego sprzężenia).

Powróćmy teraz do naszej funkcji P(r) (27) reprezentującej fakt istnienia punktu materialnego. Używając postaci zespolonych (50) i (51) możemy napisać, że

P(r) = Ψ(r)Ψ*(r). (54)

Jeżeli wybierzemy jako warunek początkowy, że

γ(r₀) = 1 (55)

i

ω(r₀) = 0, (56)

to P(r₀) = 1 i z własności rozwiązania (53) wynika, że w każdym następnym położeniu, do którego przemieści się ciało - co wynika z dowolności Δr - będziemy mieli

P(r₀ + Δr) = 1. (57)

Powróćmy teraz do naszych założeń dotyczących klasycznego ruchu ciała. Skoro nasz punkt materialny jest klasyczny, a zatem istnieje w danej chwili tylko w jednym punkcie, stąd nie można sumować prawdopodobieństw znalezienia ciała w różnych punktach. Tym samym zgodnie z założeniami funkcja P stwierdza, że w danej chwili ciało istnieje tylko w jednym miejscu z prawdopodobieństwem równym 1, a w pozostałych 0.

Podkreślmy, w którym punkcie ciało istnieje tak naprawdę wskazuje tylko funkcja promienia wodzącego, czyli równanie toru ruchu. Dlatego w sposób naturalny ‘znika’ problem unormowania funkcji Ψ(r) do 1.

Na koniec zauważmy, że możemy umieścić punkt r₀ w punkcie 0, czyli początku układu współrzędnych. Wtedy wektor Δr będzie równy wektorowi r. Zatem nasze rozwiązanie (53) zamienia się w Ψ(r) = e ^ip·r/ħ, a jego sprzężenie zespolone w Φ(r) = e ^-ip·r/ħ. Teraz możemy już przedstawić podsumowanie.

Podsumowanie

1) Funkcja falowa typu Ψ(r) = e ^ip·r/ħ oraz jej zespolone sprzężenie mogą reprezentować fakt istnienia klasycznego punktu materialnego poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jednak funkcja falowa nie daje pełnej informacji o naszym ciele fizycznym. Zasadniczym źródłem wiedzy o nim jest nadal funkcja promienia wodzącego r(t).

2) Funkcje falowe naszego punktu materialnego spełniają równanie własne operatora pędu, i stąd są to jednocześnie stany własne tego operatora. Ponadto z konstrukcji widać, że Φ(r) i Ψ(r) są polami, które wraz z ruchem postępowym cząstki ulegają obrotowi o kąt zależny od pędu ciała, wielkości przesunięcia r i stałej Plancka.
   W każdym punkcie, w którym cząstka przebywa współistnieją obydwa pola, oba w jednakowym stopniu tworzą prawdopodobieństwo znalezienia jej w tym punkcie.
   Jeśli chodzi o funkcję Φ(r), to przynależy ona do tej samej wartości własnej pędu p co funkcja Ψ(r), lecz ma z definicji przeciwną fazę.

4. Wnioski

Tą krótką sekcję zaczniemy od przypomnienia faktów niezwiązanych bezpośrednio z mechaniką kwantową.

O istnieniu w Przyrodzie zjawisk elektrycznych i magnetycznych wiedziano od conajmniej kilkuset lat. Jednak do czasów Faradaya nie zauważano ich polowego charakteru, a co ważniejsze uważano je za niezależne zjawiska. Dopiero ten odkrywca zwrócił uwagę na ich niepunktowy i polowy charakter,a przez odkrycie zjawiska indukcji elektromagnetycznej pokazał, że te zjawiska są od siebie zależne.

Dziś nie ma wątpliwości, że pola elektryczne i magnetyczne mogą się w siebie nawzajem przekształcać. Są wielkościami względnymi, to jest ich własności zależą od układu odniesienia. W szczególnym przypadku pole elektryczne lub magnetyczne mogą być równe zeru w jednym układzie odniesienia i w tym samym czasie różne od zera w innym układzie odniesienia. Dlatego z czasem wprowadzono do fizyki pojęcie pola elektromagnetycznego.
   W obliczeniach jest ono reperezentowane przez tensor pola elektromagnetycznego

gdzie A_i, to składowe potencjału wektorowego.

Jednak doświadczalnie mierzalne są tylko pola elektryczne i magnetyczne, i dlatego tylko one są wielkościami fizycznymi. Pola elektromagnetycznego nie można zmierzyć, jest tylko fizycznym konstruktem, pewnym ideałem, w którego istnienie mocno wierzymy.

Co jakiś czas wprowadza się do fizyki kolejne takie konstrukcje. W zasadzie przywykliśmy już do nich do tego stopnia, że nie wzbudza to już teraz takich wielkich emocji.

Pierwszorzędnym kolejnym takim przykładem jest pojęcie czterowymiarowej czasoprzestrzeni, gdzie zwykle mówi się, że czas jest czwartą współrzędną. Nie jest to całkowicie prawda. Po pierwsze dlatego, że faktycznie czwartą współrzędną jest zmienna

x⁰ = ct. (58)

Po drugie, wzdłuż zmiennych x,y,z możemy poruszać się w tył i w przód.

Jeśli chodzi o czas, to dla rozwiązań o dodatniej energii w równaniach falowych, takich jak równanie Schrödingera, czy Diraca czas płynie tylko do przodu, jest on parametrem, który określa kolejność zdarzeń ⁹. Stąd czas we wzorze (58) mógłby być uważany za prawdziwą czwartą zmienną tylko wtedy, gdyby kolejność zdarzeń byłaby parametryzowana inną zmienną, niezwiązaną z x⁰, ale żylibyśmy wtedy w innym Wszechświecie.

Dlatego powinno być naturalnym postawienie pytania dlaczego chcemy, aby funkcja falowa była wielkością fizyczną, jeśli nie możemy jej zmierzyć w eksperymencie?¹⁰

Naszym zdaniem, tak jak w powyższych dwóch przypadkach, funkcja falowa na obecnym etapie rozwoju fizyki jest tylko fizycznym konstruktem, który nie wymaga jednoznacznej fizycznej interpretacji. Powinniśmy raczej mówić o funkcji falowej, która składa się przynajmniej z trzech typów takowych funkcji powiązanych ogólną ideą interpretacji statystycznej, ale różniących się szczegółami swoich indywidualnych interpretacji.

Stąd teraz zasugerujmy istnienie następujących typów funkcji falowych.

1. Typ pierwszy, który obejmuje funkcję falową opisującą swobodny ruch cząstki kwantowej będącą rozwiązaniem czy to równania Schrödingera, czy też równania Diraca dla tego przypadku oraz funkcję falową opisującą ruch cząstki kwantowej w jednorodnym polu elektrycznym, którego źródłem jest potencjał skalarny przedstawioną przez Nas w [17].

   Jednocześnie dyskwalifikujemy Naszym zdaniem jako niefizyczną, choć poprawną matematycznie funkcję falową, którą daje dla przypadku tego pola równanie Schrödingera [5].

   Te funkcje są interpretowane jak wskazano powyżej w Sekcji 3, w szczególności w danej chwili czasu t cząstki tego typu są obecne w pojedynczym położeniu z prawdopodobieństwem równym 1.

2. Typ drugi, który obejmuje przede wszystkim funkcję będącą sumą spójnych ze sobą, pochodzących być może od różnych punktów startu, ale spotykających się w jednym punkcie funkcji falowych opisujących swobodny ruch wiązek cząstek kwantowych, które ze sobą interferują. Do typu tego zaliczać będziemy również funkcje opisujące wszelkie procesy rozproszeniowe.

   Tym funkcjom będzie można nadać interpretację statystyczną w sensie Borna. O tym typie funkcji falowej będziemy mówić, że powstaje ona jako przetworzenie w procesie fizycznym funkcji falowej opisującej cząstkę swobodną.

   Cząstki opisywane funkcją falową tego typu w danej chwili czasu t mogą być obecne w więcej niż jednym położeniu.

3. Wreszcie typ trzeci, który obejmuje stany związane cząstek kwantowych, typowy przykład to stany elektronowe w atomie wodoru oraz stany, które opisują zachowanie się cząstek wewnątrz barier potencjału, o ile bariera potencjału jest wyższa niż energia cząstki.

   Wszystkim tym stanom także przypisujemy interpretację statystyczną Borna. Jednak, funkcja falowa tego typu różni się od opisanego w punkcie 2 przynajmniej tym, że jedna ze składowych pędu cząstki jest urojona, na przykład radialna.

   Cząstki tego typu są także zdolne, aby znajdować się w więcej niż jednym miejscu w danej chwili czasu t, ale naszym zdaniem fizyczny mechanizm tej możliwości może być inny od właściwego mechanizmu dla typu 2.

⁴ Tutaj jako punkt materialny rozumiemy punktowe ciało fizyczne.

⁵ Mamy tutaj mały problem, ponieważ nasza funkcja P nie jest ciągła w tych miejscach, w których jej wartość zmienia się z 1 na 0. Jednak wystarczy, że uzyskamy wyrażenie, które daje niezerową wartość P tylko wzdłuż toru ruchu naszej cząstki, a poza nim przyjmiemy, że jest ona funkcją tożsamościowo równą 0.

⁶ W tych rozważaniach zaniedbujemy fakt, że ta krzywa składa się z punktów należących do różnych chwil czasu.

⁷ Należy podkreślić, że skalarne pole P jest funkcją tylko przynależnych do cząstki prostokątnych współrzędnych x,y oraz z i w żadnym przypadku te współrzędne nie są pośrednimy zmiennymi zależnymi od czasu lub prędkości cząstki.

⁸ Wskazujemy, że jest wiele rozwiązań równania (33), innych niż te podane powyżej, wliczając w to w szczególności funkcje parametru x inne niż sin lub cos, co łatwo osiągnąć poprzez inny wybór macierzy (42).

⁹ Celowo użyłem tu sformułowania rozwiązanie o dodatniej energii, a nie cząstka o dodatniej energii. Wszystkie cząstki, jak i antycząstki mają dodatnią energię. Niestety, do dzisiejszych czasów szczególnie w literaturze popularnonaukowej pokutuje błędne powiązanie, że antycząstki mają ujemną energię. Jest to zaszłość historyczna z czasów, gdy odkryto, że równanie Diraca ma swobodne rozwiązania o ujemnej energii. Rozwiązania te tylko reprezentują antycząstki w obliczeniach np. przekrojów czynnych, w takich procesach jak kreacja pary, anihilacja pary czy procesach rozproszeniowych.

¹⁰Jak podaje Tadeusz Pabjan w [26], w teorii de Broglie'a - Bohma z każdą cząstką kwantową cały czas stowarzyszona jest fala pilotująca, która nie jest jedynie - jak było w przypadku funkcji falowej w interpretacji Bohra - obiektem czysto matematycznym, ale polem fizycznym, istniejącym tak samo realnie, jak cząstka, z którą fala jest stowarzyszona. Naszym zdaniem fala pilotująca nie jest realnym polem fizycznym, bo nie można jej bezpośrednio zmierzyć (na przykład podając na podstawie pomiaru wartość liczbową Ψ(r,t) w konkretnym punkcie czasoprzestrzeni ), ale też nie jest obiektem czysto matematycznym. Nazywamy ją konstruktem fizycznym, bo własności funkcji falowej jednak odzwierciedlają coś co ma realny wpływ na zachowanie się cząstek kwantowych, ale naszym zdaniem nie jest to coś co możemy zakwalifikować jako pole fizyczne.

LITERATURA

[4] L. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1968.

[5] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Non-relativistic Theory, Pergamon, Oxford, 1958.

[9] W. Rubinowicz, W. Królikowski, Mechanika Teoretyczna, PWN, Warszawa, 1978.

[17] J. Szcząchor, On the wave function of relativistic electron moving in a uniform electric field, https://www.researchgate.net/, (2016).

[21] E. Karaśkiewicz, Zarys Teorii Wektorów i Tensorów, PWN, Warszawa 1974.

[22] B. Hague, An Introduction to Vector Analysis, Methuen & Co. LTD., London, 1951.

[23] H. F. Davies, A. D. Snider, Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon Inc., Boston, 1979.

[24] M. M. Postnikov, Lekcii po geometrii. Semestr 2, Linejnaja algebra, Nauka, Moskva, 1986.

[25] F. W. Byron, R. W. Fuller, Mathematics of Classical and Quantum Physics, Vol. 2, Addison-Wesley, Reading, 1970.

[26] T. Pabjan, Davida Bohma teoria zmiennych ukrytych, Zagadnienia Filozoficzne w Nauce, XLIV (2009), 25-39, Kraków.