Rachunek różniczkowy i całkowy w fizyce szkolnej - część 12

Szczegóły

Kategoria: Rachunek różniczkowy i całkowy w fizyce szkolnej

Opublikowano: niedziela, 11 listopad 2018 11:39

Autor : Janusz Szcząchor

Zadanie nr 8 str. 299, D. Halliday, R. Resnick, Fizyka tom II, PWN, Warszawa 1972

Generator prądu zmiennego. Obwód prostokątny złożony z N zwojów o długości a i szerokości b obraca się z częstością ν w jednorodnym polu o indukcji B (rys. 35-28). Podaj wzór na indukowaną w tym obwodzie siłę SEM. W celu otrzymania rozwiązania użyj rachunku całkowego i różniczkowego.

Rozwiązanie

Warunkiem na to, aby w obwodzie indukowała się niezerowa siła SEM jest konieczność, żeby przez ten obwód przechodził zmienny w czasie strumień indukcji magnetycznej (prawo indukcji Faradaya).

Strumień indukcji (¹) Φ_B dla pola magnetycznego opisywanego przez pewien wektor indukcji B (²) definiujemy w sposób standardowy, czyli jako następującą całkę powierzchniową

gdzie całkowanie iloczynu skalarnego B · dS wykonuje się po powierzchni S, na ogół krzywej (zamkniętej albo otwartej), dla której chcemy obliczyć strumień indukcji, a wektor dS ma następujące własności.

1. Reprezentuje on dowolną różniczkową powierzchnię dS, będącą tak małym elementem powierzchni S, że jest ona płaska.
2. Jego wartość liczbowa jest równa dS, czyli wartości liczbowej tej różniczki wyrażonej w odpowiedniej jednostce powierzchni.
3. Kierunek tego wektora jest prostopadły do powierzchni dS, a zwrot na zewnątrz powierzchni S (³).

Aby obliczyć strumień magnetyczny przenikający przez jeden zwój będący prostokątną ramką musimy policzyć całkę (1) po powierzchni prostokąta zawartego wewnątrz tej ramki. Przeanalizujmy sytuację fizyczną z rysunku 35-28.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku, znaki ‘x’ oznaczają zwrot (dla kierunku prostopadłego do ramki) wektora indukcji pola magnetycznego za płaszczyznę rysunku. O polu tym jest napisane, że jest jednorodne, a zatem ma jednakową wartość niezależnie od położenia. Ponadto powinna być jeszcze podana jego zależność od czasu. Brak informacji o tym skłania Nas do wniosku, że jest ono również stałe w czasie (⁴).

Nasza ramka jest prostokątem leżącym chwilowo w płaszczyźnie rysunku. Przyjmijmy, że zwrot wektora prostopadłego do tej ramki jest zwrotem za tę płaszczyznę. Zatem w chwili t = 0, zanim ramka się zacznie obracać kąt między wektorem indukcji magnetycznej, a wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leży obwód jest równy 0°.

Ponieważ Nasza ramka jest prostokątem (a więc figurą płaską), więc wszystkie wektory dS w granicach tej ramki są do siebie równoległe. Zatem iloczyn skalarny zawarty pod znakiem całki (1) nie zależy od zmiennych (położeniowych ⁵) całkowania zawartych w różniczce dS. Zapisując wektor dS jako

dS = ndS,

gdzie wektor n jest jednostkowym wektorem prostopadłym do płaszczyzny ramki możemy wzór (1) przepisać jako

Całka we wzorze (2) oznacza sumę wszystkich różniczkowych powierzchni dS zawartych wewnątrz naszej prostokątnej ramki, czyli powierzchnię tego prostokąta równą ab. Zatem całka (2) jest równa

Iloczyn skalarny zawarty w (3) jest funkcją czasu, a dokładniej chodzi tu o kosinus kąta zawartego między wektorami B i n (same te wektory mają długości stałe, niezmienne w czasie). Wynika to z faktu, że prostokątny obwód obraca się z częstością ν, z taką samą częstością obraca się wektor n, a zatem kąt między tymi wektorami zależy od czasu. Jaka jest ta zależność?

Przypomnijmy, że częstość ν jest związana z okresem (obiegu) następującą zależnością

ν = 1/T . (4)

W treści zadania nie podano jak częstość zależy od czasu, a zatem należy przyjąć, że jest ona stałą.

Tym samym argument (kąt) kosinusa wyrażający chwilową wartość kąta o jaki jest obrócony obwód ma postać znaną z ruchu jednostajnego po okręgu, czyli

α = ωt , (5)

gdzie ω, to szybkość kątowa, która z uwagi na wzór (4) przyjmuje następującą formę ostateczną

ω = 2πν . (6)

Stąd ostateczny wzór na strumień magnetyczny przenikający przez jeden obwód ma postać

Siła SEM takiego obwodu dana jest prawem Faradaya, czyli

Podstawiając wynik (7) do wzoru (8) otrzymujemy siłę SEM pojedynczego obwodu. Ponieważ obwód składa się N zwojów, zatem są one połączone szeregowo, a tym samym pojedyncze siły SEM się dodają. Dlatego otrzymujemy wynik

E = E₀sin(2πνt) , (9)

gdzie amplituda E₀ = 2πνN|B|ab.

(¹) Terminologię i symbole stosujemy za D. Halliday, R. Resnick, Fizyka tom II, PWN, Warszawa 1972.

(²) Pogrubienie litery w tym artykule oznacza wektor

(³) E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN, Warszawa 1974.

(⁴) Przyjmowanie z definicji, że pole jednorodne ma stałą w czasie wartość jest pewną zaszłością historyczną. Jednak mimo, że oznacza to pewną niejasność jest uznawane nadal za poprawne sformułowanie.

(⁵) W ogólności, aby policzyć całkę (1) konieczne jest wyrażenie różniczki dS poprzez zmienne x, y oraz różniczki dx i dy. W tym zadaniu nie ma jednak takiej potrzeby.