W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 18

Szczegóły

Kategoria: Zadania z fizyki

Opublikowano: sobota, 24, październik 2015 19:56

Autor : Janusz Szcząchor

O mnie:

Nauczyciel w Centrum Nauki i Biznesu ŻAK w Łodzi oddział w Grudziądzu

zadanie nr 3.9, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Można udowodnić, że siła grawitacji działająca na ciało znajdujące się wewnątrz wydrążonej kuli (niekoniecznie w jej środku) równa jest zeru (rys. 3.2). Wyprowadź wzór wyrażający zależność przyspieszenia ziemskiego wewnątrz Ziemi od odległości od środka Ziemi.

zadanie nr 3.10, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Punkt A znajduje się na wysokości H nad powierzchnią Ziemi, a punkt B - w szybie o głębokości h (rys. 3.3.). Oblicz stosunek H : h, jeśli wiadomo, że natężenie pola grawitacyjnego w punktach A i B jest takie samo.

Rozwiązanie

Z uwagi na to, że część obliczeń z rozwiązania zadania 3.9 można wykorzystać w rozwiązaniu zadania 3.10, rozwiązania obu zadań zostały połączone jako całość.

Prawo powszechnego ciążenia podane przez Newtona określa jaka jest siła wzajemnego przyciągania dwóch mas punktowych. Celem obliczenia wartości sił grawitacji działających między wieloma punktowymi ciałami musimy wysumować wszystkie siły działające na dane ciało, a pochodzące od ciał pozostałych. Jeżeli jednak oddziałujące ciała są rozciągłe, to konieczne jest użycie rachunku całkowego.

Przy pomocy tego rachunku można udowodnić, że jednorodna kula (czyli mająca stałą gęstość) oddziaływuje z punktem materialnym tak, jakby cała jej masa była skoncentrowana w jej środku.

Podobnie ma się z dowodem, że siła grawitacji działająca na ciało wewnątrz kulistej powłoki (wniosek przedstawiony w treści zadania 3.9) jest równa zeru niezależnie od miejsca położenia tego ciało w granicach wnętrza tej powłoki.

Rozwiązania obu zadań opierają się zatem na obserwacji, że gdy ciało zagłębia się do wnętrza jednorodnej kuli, to materia leżąca poza zmniejszoną kulą o promieniu równym odległości tego ciała od środka tej kuli daje zerowy wkład do siły grawitacji działającej na to ciało. Niezerowa siła przyciągania pochodzi tylko od materii leżącej wewnątrz tej zmniejszonej kuli. Jednocześnie siłę grawitacji oblicza się traktując, że cała materia dająca niezerowy wkład do siły grawitacji znajduje się w środku zmniejszonej kuli. Ponadto zakłada się, że Ziemia jest jednorodną kulą (co nie jest prawdą). Po tym wstępie możemy już rozwiązać oba zadania.

Zadanie 3.9

Jeśli chodzi o zadanie 3.9, to należy zauważyć, że w zasadzie w zadaniu nie ma żadnych danych za wyjątkiem żądania sformułowanego w pytaniu, aby otrzymać wzór na przyspieszenie zależny od odległości od środka Ziemi. Stąd będziemy musieli sami zdecydować, które wielkości należy potraktować jako dane. Śledząc różne skorowidze można zauważyć, że w takim zadaniu, skoro zadanie dotyczy Ziemi, danymi powinny być wielkości charakteryzujące Ziemię, czyli jej masa, przyspieszenie na jej powierzchni, czy też jej promień.

Zadanie rozwiążemy w ten sposób, że będziemy śledzić ruch ciała próbnego zagłębiającego się do wnętrza Ziemi. Jego masa nie ma znaczenia, byleby nie była zbyt duża w stosunku do ziemskiej. Oznaczmy tę masę jako m, a masę Ziemi jako M_z. Zatem na chwilę przed zagłębianiem się do wnętrza Ziemi, przyspieszenie ciała próbnego na powierzchni Ziemi jest dane jako

gdzie F, to siła z jaką cała Ziemia przyciąga nasze ciało próbne. Siła ta oczywiście jest dana wzorem

Tutaj r oznacza odległość między środkiem ciała próbnego, a środkiem Ziemi (zgodnie z podanymi wyżej założeniami). Jednak nasze ciało próbne może mieć znikomą masę, a tym samym faktycznie zerowe rozmiary. W ten sposób odległość r może być sprowadzona do wartości promienia Ziemi oznaczanego jako R. Podstawiając (2) do (1), a za r wstawiając R otrzymujemy specyficzną wartość g charakterystyczną dla powierzchni Ziemi. Oznaczmy ją jako g₀ i mamy

Gdy zagłębiamy się do wnętrza Ziemi odległość ciała próbnego od środka Ziemi maleje. Jest też ono przyciągane przez coraz mniejszą masę. Wykorzystajmy wzór (3), aby otrzymać wyrażenie na przyspieszenie ciała próbnego w dowolnej odległości od środka Ziemi, ale będącego w jej wnętrzu. W tym celu za M_z podstawimy masę niepełnej kuli ziemskiej oznaczoną jako M_cz, a za R zmienną x, wyrażającą bieżącą odległość ciała do środka Ziemi. Otrzymaną w ten sposób bieżącą wartość przyspieszenia ciała oznaczmy jako g_cz i mamy

Masę niepełnej kuli ziemskiej M_cz można obliczyć ze wzoru na masę kuli w ten sposób, że za promień kuli r podstawimy x, bo zgodnie z podanymi wyżej założeniami ciało próbne przyciąga tylko ta część masy Ziemi, która znajduje się pod ciałem. Zatem M_cz jest równe

gdzie ρ to gęstość materii ziemskiej. Podstawiając (5) do (4) otrzymujemy

Podobnie wyrażając g₀ przez parametry Ziemi mamy

Stąd

g_cz / g₀ = x / R,

czyli

g_cz = g₀· x / R.

I to jest rozwiązanie zadania 3.9 .

Zadanie 3.10

Z kolei w zadaniu 3.10 jest mowa o natężeniu pola grawitacyjnego dla dwóch punktów, z których A jest na wysokości H nad Ziemią, a drugi B w szybie o głębokości h, poniżej powierzchni Ziemi.

Należy tu wyjaśnić, że natężenie pola grawitacyjnego (jest pewna logiczna zasada jak się definiuje natężenia pola niezależnie od jego rodzaju) akurat jest wielkością fizyczną identyczną z przyspieszeniem z jakim ciało porusza się pod wpływem tego pola. Obu nazw dla grawitacji można używać zamiennie.

Do rozwiązania możemy wykorzystać część dotychczasowych obliczeń z zadania 3.9 . Aby obliczyć natężenie pola grawitacyjnego, które działa na ciało znajdujace się w szybie możemy wykorzystać wzór (6). W tym celu we wzorze podstawiamy odległość punktu B od środka Ziemi zgodnie z oznaczeniami z obecnego zadania. Tutaj zamiast x wynosi ona R-h i mamy

Jeśli chodzi o ciało A znajdujące się nad Ziemią, to musimy przetworzyć wzór (3). Teraz ciało oddziaływuje z masą całej Ziemi, lecz jego odległość od środka Ziemi jest większa niż R. Zgodnie z uwagami na wstępie artykułu, nadal możemy przyjmować, że masa całej Ziemi jest skupiona w jej środku. Stąd podstawiamy za M_z w (3) wzór na masę całej kuli ziemskiej, czyli

Natomiast za R w (3) podstawiamy R+H i mamy, że przyspieszenie ciała A znajdującego się na wysokości H nad Ziemią jest równe

Przyrównując do siebie wielkości (8) i (10) otrzymujemy

g(h) = g(H),

Skracając stronami czynniki wspólne dostajemy

Podzielmy obie strony powyższego równania przez R, aby dostać

oraz pomnóżmy prawą stronę tego równania przez 1 w takiej postaci

W końcu otrzymujemy równanie (13) w formie

Zakładając, że punkt A znajduje się w odległości H niedużej w porównaniu z promieniem Ziemi R, czyli |H/R| < 1 możemy prawą stronę równania (15) przybliżyć zgodnie z poniższą równością

(1+H/R)^{- 2} ≈ 1- 2H/R.

Wtedy równanie (15) przyjmuje postać

1- h/R = 1- 2H/R.

Skracając jedynki stronami, obustronnie zmieniając znaki "-" na "+" oraz mnożąc stronami równość przez R otrzymujemy, że

h = 2H,

czyli

H/h = 1/2.

I to jest odpowiedź do zadania 3.10 .